Izomorfizmy grup
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Izomorfizmy grup
Udowodnić, że grupy \(\displaystyle{ \displaystyle \mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ \displaystyle \mathbb{R}^{\ast}}\) (rzeczywiste bez 0) nie są izomorficzne.
Co trzeba po kolei sprawdzić, żeby to udowodnić?
Co trzeba po kolei sprawdzić, żeby to udowodnić?
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Izomorfizmy grup
Masz wskazać własność algebraiczną (czyli taką, która jest zachowywana przez izomorfizmy), którą się te grupy różnią.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Izomorfizmy grup
Czy jeśli tak zapiszę to będzie poprawnie?Jan Kraszewski pisze: ↑20 lis 2022, o 21:51 Masz wskazać własność algebraiczną (czyli taką, która jest zachowywana przez izomorfizmy), którą się te grupy różnią.
JK
Niech \(\displaystyle{ f: \displaystyle \mathbb{R}^{*} \rightarrow\displaystyle \mathbb{R}^{+} }\) będzie izomorfizmem.
Wówczas \(\displaystyle{ f(-1)=f(-1)+f(-1)=f((-1) \cdot (-1))=f(1)}\)
Zatem grupy nie są izomorficzne, bo nie zachowują różnowartościowości \(\displaystyle{ f(-1)=f(1)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Izomorfizmy grup
Nie bardzo. Po pierwsze, forma kuleje (wypadałoby wyraźnie napisać, że rozumujesz nie wprost). Po drugie, ważniejsze, dlaczego uważasz, że \(\displaystyle{ f(-1)=f(-1)+f(-1)}\) ?aa1 pisze: ↑23 lis 2022, o 11:32Czy jeśli tak zapiszę to będzie poprawnie?
Niech \(\displaystyle{ f: \displaystyle \mathbb{R}^{*} \rightarrow\displaystyle \mathbb{R}^{+} }\) będzie izomorfizmem.
Wówczas \(\displaystyle{ f(-1)=f(-1)+f(-1)=f((-1) \cdot (-1))=f(1)}\)
Zatem grupy nie są izomorficzne, bo nie zachowują różnowartościowości \(\displaystyle{ f(-1)=f(1)}\)
Powinno być tak:
Przypuśćmy nie wprost, że istnieje izomorfizm \(\displaystyle{ f: \displaystyle \mathbb{R}^{*} \rightarrow\displaystyle \mathbb{R} }\). Wtedy \(\displaystyle{ 0=f(1)=f((-1) \cdot (-1))=f(-1)+f(-1)}\), czyli \(\displaystyle{ f(-1)=-f(-1)}\). Ale dla każdego niezerowego elementu \(\displaystyle{ x}\) grupy addytywnej \(\displaystyle{ \left( \RR,+\right) }\) mamy \(\displaystyle{ -x\ne x}\), zatem \(\displaystyle{ f(-1)=0}\). Ale wtedy \(\displaystyle{ f(1)=f(-1)}\) - sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowe.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Izomorfizmy grup
A skąd wiemy, że \(\displaystyle{ 0=f(1)}\) ?Jan Kraszewski pisze: ↑23 lis 2022, o 11:51 Powinno być tak:
Przypuśćmy nie wprost, że istnieje izomorfizm \(\displaystyle{ f: \displaystyle \mathbb{R}^{*} \rightarrow\displaystyle \mathbb{R} }\). Wtedy \(\displaystyle{ 0=f(1)=f((-1) \cdot (-1))=f(-1)+f(-1)}\), czyli \(\displaystyle{ f(-1)=-f(-1)}\). Ale dla każdego niezerowego elementu \(\displaystyle{ x}\) grupy addytywnej \(\displaystyle{ \left( \RR,+\right) }\) mamy \(\displaystyle{ -x\ne x}\), zatem \(\displaystyle{ f(-1)=0}\). Ale wtedy \(\displaystyle{ f(1)=f(-1)}\) - sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowe.
JK
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Izomorfizmy grup
Niech \(\displaystyle{ (G,\circ)}\) i \(\displaystyle{ (H,\bullet)}\) będą grupami oraz \(\displaystyle{ f :G \rightarrow H}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest homomorfizmem, gdy \(\displaystyle{ \forall x, y ∈ G\ f(x\circ y)=f(x)\bullet f(y).}\)
Ostatnio zmieniony 23 lis 2022, o 20:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Izomorfizmy grup
No OK. Jednym z pierwszych faktów udowadnianych po wprowadzeniu pojęcia homomorfizmu grup jest ten mówiący o tym, że homomorfizm przeprowadza element neutralny na element neutralny. I dlatego właśnie \(\displaystyle{ f(1)=0.}\)
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Izomorfizmy grup
A w takim razie dlaczego \(\displaystyle{ f(-1)=0}\)? Bo o ile dobrze myślę, to \(\displaystyle{ -1}\) nie jest elementem neutralnym.Jan Kraszewski pisze: ↑23 lis 2022, o 11:51 Ale dla każdego niezerowego elementu \(\displaystyle{ x}\) grupy addytywnej \(\displaystyle{ \left( \RR,+\right) }\) mamy \(\displaystyle{ -x\ne x}\), zatem \(\displaystyle{ f(-1)=0}\). Ale wtedy \(\displaystyle{ f(1)=f(-1)}\) - sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowe.
JK
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Izomorfizmy grup
A wiesz, na czym polega rozumowanie nie wprost? Bo wyraźnie napisałem na początku
JKJan Kraszewski pisze: ↑23 lis 2022, o 11:51Przypuśćmy nie wprost, że istnieje izomorfizm \(\displaystyle{ f: \displaystyle \mathbb{R}^{*} \rightarrow\displaystyle \mathbb{R} }\).