Matematyka.pl

Dane są dwie struktury algebraiczne \(\displaystyle{ \left( R, +, \cdot , \times , \star \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( R, \oplus,\odot, \otimes,\Delta\right)}\) gdzie dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in R}\) mamy

\(\displaystyle{ a \times b= a \oplus b= a+b=1 , \\
a\star b= a\Delta b= 5a-4b , \\
a \odot b= ab-a-b+2 \\
a \otimes b= a+b-2.}\)

Sprawdzić, że funkcja \(\displaystyle{ \varphi :R \rightarrow R}\) określona wzorem \(\displaystyle{ \varphi(x)= x+1}\) jest izomorfizmem struktury \(\displaystyle{ \left( R, +, \cdot , \times , \star \right)}\) na \(\displaystyle{ \left( R, \oplus,\odot, \otimes,\Delta\right)}\)

Witam. Mam problem z powyższym zadaniem. Wiem, że izomorfizm to homomorfizm będący surjekcją. Nie wiem natomiast jak odnieść się do tego zadania. Mogłabym prosić o wskazówkę jak należy wykonać to zadanie ?

Pozdrawiam

Karolina93 pisze:Wiem, że izomorfizm to homomorfizm będący surjekcją.

Czyżby?

JK

Oczywiście bijekcją. No więc jak ruszyć to zadanie ?

Może ktoś pomóc z tym zadaniem ?

Izomorfizm jest przede wszystkim homomorfizmem. Podstawową własnością jest zachowanie działań, zatem należy sprawdzić czy:

\(\displaystyle{ \varphi (a+b)=\varphi (a)\oplus \varphi (b) \\
\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\odot \varphi (b)}\)
...

i tak po kolei wszystkie działania.

A co wtedy jak nie mam zdefiniowanego działania \(\displaystyle{ \cdot}\) ?

\(\displaystyle{ +}\) oraz \(\displaystyle{ \cdot}\) to zapewne zwykłe działania dodawania i mnożenia.

Mam jeszcze takie ogólne pytanie już abstrahując od konkretnie tego zadania czy te działania w strukturach przechodzą na siebie w kolejności takiej w jakiej są zapisane. Tzn drugie działanie ze struktury \(\displaystyle{ A}\) w drugie działanie struktury\(\displaystyle{ B}\) (czyli \(\displaystyle{ +}\) w \(\displaystyle{ \oplus}\)), czwarte działanie struktury \(\displaystyle{ A}\) w czwarte struktury \(\displaystyle{ B}\) (\(\displaystyle{ \star}\) w \(\displaystyle{ \Delta}\)). Nie wiem czy rozumiesz co mam na myśli..

Tak, kolejność jest istotna i mówi nam, które działanie przechodzi na które. Więc dokładnie tak jak napisałaś.

Dzięki wielkie

Wracam do tematu. Jak wykazałam homomorfizm struktur, to jak należy zbadać różnowartościowość tej struktury i sprawdzić czy jest "na" ?
Proszę o pomoc

Nie badamy różnowartościowości struktury tylko funkcję która jest homomorfizmem.

Czyli mogę napisać, że funkcja \(\displaystyle{ \varphi (x) = x+1}\) jest liniowa, a ta z jej własności jest różnowartościowa oraz \(\displaystyle{ \varphi: R \rightarrow R}\) czyli jest "na". Czy tak to może być ?

Zgadza sie, zawsze badamy własności odwzorowania.

Wracając do tego zadania. Czyli w pierwszym:
\(\displaystyle{ \varphi(a+b)=\varphi(a)\oplus\varphi(b)=a+1+b+1-1=a+b+1}\)?
przy założeniu, że pierwsze zadanie jest zdefiniowane inaczej, mianowicie tak: \(\displaystyle{ a+b=a\oplus b=a+b-1}\)
Natomiast drugie "działania" \(\displaystyle{ \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)=(a+1)(b+1)-a-1-b-1+2=ab+1}\) ?