Sprawdzić, że dany zbiór \(\displaystyle{ M}\) macierzy tworzy grupę względem mnożenia macierzy. Wykazać, że grupa ta jest izomorficzna z grupą \(\displaystyle{ \displaystyle\mathbb{Z}}\).
a) \(\displaystyle{ M=\left\{ \left[\begin{array}{ccc}
1+a&-a\\
a&1-a
\end{array}\right] :a \in \displaystyle \mathbb{Z}\right\}}\)
b) \(\displaystyle{ M=\left\{ \left[\begin{array}{ccc}
1-2a&4a\\
-a&1+2a
\end{array}\right] :a \in \displaystyle \mathbb{Z}\right\}}\)
Proszę o dokładne wytłumaczenie co trzeba w tym zadaniu zrobić
Izomorfizm grupy
-
- Administrator
- Posty: 34238
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Izomorfizm grupy
Ponieważ wiemy, że wszystkie macierze \(\displaystyle{ 2\times 2}\) tworzą grupę względem mnożenia, więc wystarczy sprawdzić, że zbiór \(\displaystyle{ M}\) jest zamknięty na działania, czyli że iloczyn dwóch macierzy z \(\displaystyle{ M}\) należy do \(\displaystyle{ M}\) oraz że macierz odwrotna do macierzy z \(\displaystyle{ M}\) także należy do \(\displaystyle{ M}\). A izomorfizm należy napisać wzorem i sprawdzić, że jest izomorfizmem.
JK
JK