Matematyka.pl

Mam takie zadanie:

Które z następujących zbiorów są grupami względem dodawania liczb indukowanego z liczb rzeczywistych:
i) zbiór liczb naturalnych (liczby całkowite dodatnie)

Co to znaczy dodawania liczb indukowanego z liczb rzeczywistych?

Z góry dzięki za wytłumaczenie.

To znaczy, że to jest to samo dodawanie.

Jest to szczególny przypadek ogólnej sytuacji, gdy masz grupę \(\displaystyle{ (G,\circ)}\) oraz podzbiór \(\displaystyle{ H \subseteq G}\). Wtedy możesz pytać, czy zbiór \(\displaystyle{ H}\) z działaniem indukowanym (dziedziczonym) z \(\displaystyle{ G}\), czyli struktura \(\displaystyle{ (H,\circ)}\) jest grupą. Polega to na tym, że należy sprawdzić, czy zbiór \(\displaystyle{ H}\) jest zamknięty na działanie \(\displaystyle{ \circ}\).

JK

Jeśli dobrze rozumiem, to odpowiedź na to pytanie będzie:

Zatem zbiór liczb naturalnych (liczby całkowite dodatnie) to chyba tak można zapisać: \(\displaystyle{ (\NN, +)}\) ?

1) Dodawanie w zbiorze liczb rzeczywistych jest wewnętrzne
2) Dodawanie jest łączne w zbiorze liczb rzeczywistych
3) Istnieje element neutralny \(\displaystyle{ e = 0}\)
4) Istnieje element neutralny \(\displaystyle{ - x}\)

Zatem zbiór liczb naturalnych (liczby całkowite dodatnie) jest grupą.

Dobrze to zrobiłem?

Źle.

marpus pisze: 1 lis 2020, o 22:053) Istnieje element neutralny \(\displaystyle{ e = 0}\)

Serio?

marpus pisze: 1 lis 2020, o 22:05 4) Istnieje element neutralny \(\displaystyle{ - x}\)

Serio?

JK

Jan Kraszewski pisze: 1 lis 2020, o 22:39 Źle.

marpus pisze: 1 lis 2020, o 22:053) Istnieje element neutralny \(\displaystyle{ e = 0}\)

Serio?

marpus pisze: 1 lis 2020, o 22:05 4) Istnieje element neutralny \(\displaystyle{ - x}\)

Serio?

JK

Dlaczego elemenem neutralnym nie jest 0? W dodawaniu to jedyny element neutralny, albo coś źle rozumiem.

Miało być, że \(\displaystyle{ -x}\) to element symetryczny.

marpus pisze: 1 lis 2020, o 22:41Miało być, że \(\displaystyle{ -x}\) to element symetryczny.

Nie, miało być "element przeciwny". Ale to w niczym nie zmienia moich uwag.

JK

Jan Kraszewski pisze: 1 lis 2020, o 22:43

marpus pisze: 1 lis 2020, o 22:41Miało być, że \(\displaystyle{ -x}\) to element symetryczny.

Nie, miało być "element przeciwny". Ale to w niczym nie zmienia moich uwag.

JK

No dobra tego i tak nie byłem pewien. Ale dlaczego element neutralny to nie 0? Jak przyłoże 0 do dowolnego elementu to go nie zmienię.

marpus pisze: 1 lis 2020, o 22:49No dobra tego i tak nie byłem pewien.

Czego?

marpus pisze: 1 lis 2020, o 22:49Ale dlaczego element neutralny to nie 0? Jak przyłoże 0 do dowolnego elementu to go nie zmienię.

Uważasz, że zero jest liczbą całkowitą dodatnią?

JK

Jan Kraszewski pisze: 1 lis 2020, o 22:51

marpus pisze: 1 lis 2020, o 22:49No dobra tego i tak nie byłem pewien.

Czego?

marpus pisze: 1 lis 2020, o 22:49Ale dlaczego element neutralny to nie 0? Jak przyłoże 0 do dowolnego elementu to go nie zmienię.

Uważasz, że zero jest liczbą całkowitą dodatnią?

JK

A no tak, nie zwróciłem na to uwagi. Dzięki

Dodano po 41 minutach :
A jak by się to miało do takiego zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0 \right\} }\)

1) Działanie dodawania jest wewnęntrzne
2) Działanie dodawania jest łączne w tym zbiorze
3) element neutralny to \(\displaystyle{ e = 0}\)
4) element symetryczny, tutaj właśnie nie jestem pewien czy on istnieje, chyba nie?

Zatem ten zbiór nie jest grupą. Zgadza się?

marpus pisze: 2 lis 2020, o 00:134) element symetryczny,

Nie ma czegoś takiego, jak element symetryczny. Jest tylko element odwrotny do danego elementu względem danego działania (nazywany czasem - przy notacji addytywnej - elementem przeciwnym).

marpus pisze: 2 lis 2020, o 00:13tutaj właśnie nie jestem pewien czy on istnieje, chyba nie?

Zgaduj, zgadula.

To się sprawdza z definicji, a nie "na czuja" (tym bardziej, że Twój "czuj" jest mocno niewiarygodny). W Twoim wypadku obstawiam, że nie rozumiesz definicji (kwantyfikatory...).

marpus pisze: 2 lis 2020, o 00:13Zatem ten zbiór nie jest grupą. Zgadza się?

Nie zgadza się (poza tym, że grupą nie jest zbiór, tylko zbiór z działaniem).

JK

Jan Kraszewski pisze: 2 lis 2020, o 01:16
Nie ma czegoś takiego, jak element symetryczny. Jest tylko element odwrotny do danego elementu względem danego działania (nazywany czasem - przy notacji addytywnej - elementem przeciwnym).

W konspekcie od prowadzącego mam element symetryczny.

Jan Kraszewski pisze: 2 lis 2020, o 01:16 Nie zgadza się (poza tym, że grupą nie jest zbiór, tylko zbiór z działaniem).

JK

Element przeciwny na bank nie istnieje, bo nie ma czegos takiego jak \(\displaystyle{ -0}\)
Chodzi o to, że powinno być w odpowiedzi, że zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 0 \right\} }\) nie jest grupą względem dodawania liczb indukowanego z liczb rzeczywistych?

marpus pisze: 2 lis 2020, o 18:05W konspekcie od prowadzącego mam element symetryczny.

No to masz bzdurny konspekt, niestety.

marpus pisze: 2 lis 2020, o 18:05Element przeciwny na bank nie istnieje, bo nie ma czegos takiego jak \(\displaystyle{ -0}\)

Bzdura. Nie rozumiesz definicji elementu odwrotnego. W grupie \(\displaystyle{ (\{0\}, +)}\) elementem przeciwnym do (jedynego) elementu \(\displaystyle{ 0}\) jest on sam.

marpus pisze: 2 lis 2020, o 18:05Chodzi o to, że powinno być w odpowiedzi, że zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 0 \right\} }\) nie jest grupą względem dodawania liczb indukowanego z liczb rzeczywistych?

Przecież Ci napisałem, że to jest grupa.

JK