Matematyka.pl

arek1357 pisze: ↑11 sty 2023, o 09:07
Co sugeruje, że pierścień ilorazowy:

\(\displaystyle{ \ZZ[ \sqrt{-5}]|_{(a)}}\) jest izomorficzny z pierścieniem \(\displaystyle{ \ZZ}\)

Więc nie jest ciałem a więc nasz ideał \(\displaystyle{ (a)}\) nie jest maksymalny, trzeba pomnożyć przez ideał \(\displaystyle{ (b)}\)

[...]

Co sugeruje, że:

\(\displaystyle{ \ZZ[ \sqrt{-5} ]_{|(ab)}}\) można utożsamić z ciałem: \(\displaystyle{ Z_{2}=\left\{ 0,1\right\} }\)

Co by sugerowało, że pierścień \(\displaystyle{ (ab)}\) jest maksymalny...

Czyli ideał \(\displaystyle{ a}\) nie jest maksymalny, a z drugiej strony ideał \(\displaystyle{ ab\subseteq a}\) jest maksymalny. Tyle jeśli chodzi o przydatność katolickich, przedsoborowych zasad do matematyki.

Pokażemy najpierw, jak można wywnioskować postać rozwiązania.

Zwróćmy uwagę, że \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \cong \mathbb{Z}[x]/(x^2 + 5)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]}\) jest pierścieniem Dedekinda. W pierścieniu Dedekinda każdy niezerowy ideał jest iloczynem ideałów maksymalnych. Zauważmy też, że
$$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/a \cong \mathbb{Z}[x]/(2, 1 + x, x^2 + 5) \cong \mathbb{Z}_2[x]/(x^2 + 5, 1 + x) \cong \mathbb{Z}_2[x]/(x^2 +1, 1 + x) \cong \mathbb{Z}_2[x]/((x+1)^2, 1 + x) = \mathbb{Z}_2[x]/(1 + x) = \mathbb{Z}_2$$
Zatem (wbrew temu, co uważają katolicy przedsoborowi) ideał \(\displaystyle{ a}\) jest maksymalny w rozważanym pierścieniu. Z faktu, że \(\displaystyle{ (2) \subseteq a}\) oraz tego, że jesteśmy w pierścieniu Dedekina wynika, że \(\displaystyle{ (2) = a\cdot b}\) dla pewnego ideału \(\displaystyle{ b}\). Sprawdźmy iloraz
$$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/(2) = \mathbb{Z}[x]/(2, x^2 + 5) \cong \mathbb{Z}_2[x]/(x^2 + 5) \cong \mathbb{Z}_2[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{Z}_2[x]/((x+1)^2) = \mathbb{Z}_2[x+1]/((x+1)^2) = \mathbb{Z}_2[\epsilon]$$
gdzie \(\displaystyle{ \epsilon^2 = 0}\). Stąd wynika, że ideał \(\displaystyle{ (2)}\) w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]}\) jest kwadratem pewnego ideału maksymalnego w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]}\). Z tego, co powiedzieliśmy wyżej, musi być \(\displaystyle{ a^2 = (2)}\). Tym samym doszliśmy do postaci rozwiązania.

Sprawdźmy teraz, czy wszystko się zgadza. Mamy
$$a^2 = (2, 1 + \sqrt{-5})\cdot (2, 1 + \sqrt{-5}) = (4, 2 + 2 \sqrt{-5}, 6) = (2)\cdot (2,1+\sqrt{-5},3) = (2)\cdot (3 - 2,2,1+\sqrt{-5},3) = (2) \cdot (1, 2,1+\sqrt{-5},3) = (2)\cdot (1) = (2)$$