Matematyka.pl

Czy ideał \(\displaystyle{ I=9\mathbb{Z}\left [ X \right ]+X^2\mathbb{Z}\left[X \right ]}\) pierścienia \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\left [ X \right ]}\) jest ideałem głównym?

Czy jako odpowiedź wystarczy napisać, że ten ideał jest generowany przez 9 i \(\displaystyle{ x^2}\) i skorzystać z tw. że ideał główny ma jeden generator? Zatem ten ideał nie jest główny.

Nie wystarczy. Twój ideał w istocie nie jest główny, ale wymaga to lepszego argumentu.

Dla każdego ideału może istnieć wiele zestawów elementów, które go generują. Z definicji ideał jest główny, jeśli choć jeden taki generujący zestaw składa się z pojedynczego elementu. Twój ideał daje się wygenerować zestawem dwuelementowym, ale nie wynika stąd, że nie daje się wygenerować zestawem jednoelementowym. Na przykład: ideał \(\displaystyle{ J = (x^2, x^2+x)}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[X]}\) jest główny, choć definiuje go dwuelementowy zestaw generatorów. Mamy bowiem

\(\displaystyle{ J = (x^2, x^2+x) = (x^2, x) = (x)}\),

czyli ideał daje się też wygenerować zestawem jednoelementowym.

Tak, zgadza się ale w Twoim przypadku \(\displaystyle{ NWD(x^2, x^2+x)}\) nie jest równy 1 tak jak w moim przypadku. Mogę być w błędzie ale wydaje mi się że jeśli NWD będzie równe jeden to nie da się wygenerować ideału za pomocą jednoelementowego zestawu.

A co według Ciebie należy dodać aby argument był lepszy?

shifu pisze: ↑11 wrz 2023, o 21:10Mogę być w błędzie ale wydaje mi się że jeśli NWD będzie równe jeden to nie da się wygenerować ideału za pomocą jednoelementowego zestawu.

Nie zawsze:

\(\displaystyle{ (6x^3 + x^2 + 2, 3x^3+1) = (x^2, 3x^3+1) = (x^2, 1) = (1)}\)

shifu pisze: ↑11 wrz 2023, o 21:10A co według Ciebie należy dodać aby argument był lepszy?

Załóżmy nie wprost, że ideał \(\displaystyle{ (9, x^2)}\) jest główny, czyli \(\displaystyle{ (9, x^2) = (w)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ w \in \ZZ[X]}\). Wtedy \(\displaystyle{ w \mid 9}\) i \(\displaystyle{ w \mid x^2}\). Ale \(\displaystyle{ NWD(9, x^2) = 1}\), zatem \(\displaystyle{ (w) = (1)}\). Jednak \(\displaystyle{ (9, x^2) \neq (1)}\), bo \(\displaystyle{ 1 \notin (9, x^2)}\), czyli sprzeczność.