Homomorfizmy grupy
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Homomorfizmy grupy
Zadanie: Niech \(\displaystyle{ Hom(G_{1},G_{2})}\) będzie zbiorem wszystkich homomorfizmów grupy abelowej \(\displaystyle{ G_{1}}\) w grupę abelową \(\displaystyle{ G_{2}}\). Sprawdzić, że dodawanie określone wzorem \(\displaystyle{ (f+g)(x)=f(x)+g(x)}\) \(\displaystyle{ (f,g\in Hom(G_{1},G_{2}), x\in G_{1})}\) jest działaniem w tym zbiorze. Sprawdzić, że względem tego dodawania zbiór \(\displaystyle{ Hom(G_{1},G_{2})}\) jest grupą abelową.
Sprawdziłam zgodność z dodawaniem. Sprawdziłam też łączność i przemienność - brakuje mi elementu neutralnego i odwrotnego. Czy ma ktoś pomysł jak to wykazać?
Sprawdziłam zgodność z dodawaniem. Sprawdziłam też łączność i przemienność - brakuje mi elementu neutralnego i odwrotnego. Czy ma ktoś pomysł jak to wykazać?
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Homomorfizmy grupy
Zastanów się: elementem neutralnym jest homomorfizm \(\displaystyle{ e}\) taki, że dla dowolnego homomorfizmu \(\displaystyle{ f}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f+e=f}\), czyli dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in G_1}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ (f+e)(x)=f(x)+e(x)=f(x).}\) Co nam to mówi o homomorfizmie \(\displaystyle{ e}\) ?
JK
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Homomorfizmy grupy
Uwaga odnoście notacji: bezpieczniej jest zapisać \(\displaystyle{ (f+g)(x)=f(x)\circ g(x)}\) bo te \(\displaystyle{ +}\)y to różne plusy. No chyba, że już jesteś oswojona z tym i nie robi Ci to różnicy.
Hint: Funkcja \(\displaystyle{ \theta:G_1\to G_2}\) taka, że \(\displaystyle{ (\forall x\in G_1)\theta(x)=e_2}\) jest homo. To znaczy \(\displaystyle{ \theta\in \text{Hom}(G_1,G_2)}\)
Jeśli \(\displaystyle{ f\in \text{Hom}(G_1,G_2)}\) to można definiować funkcję \(\displaystyle{ f^*:G_1\to G_2}\) daną wzorem \(\displaystyle{ f^*(x)=\text{element odwrotny do }f(x)}\). Trzeba sprawdzić, że \(\displaystyle{ f^*}\) jest homo i, że \(\displaystyle{ f+f^*=f^*+f=\theta}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Homomorfizmy grupy
Mogę tak zapisać?
Niech \(\displaystyle{ f\in Hom(G_{1},G_{2})}\)
Dla \(\displaystyle{ g:G_{1}\to G_{2}}\)
\(\displaystyle{ g(x)=-f(x)}\) dla \(\displaystyle{ g\in Hom(G_{1},G_{2})}\)
\(\displaystyle{ f+g=g+f=e}\)
Zatem \(\displaystyle{ g=-f}\)
Ostatnio zmieniony 16 lis 2022, o 14:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Homomorfizmy grupy
To, że \(\displaystyle{ g:G_{1}\to G_{2}}\) jest homomorfizmem należałoby wykazać, a nie stwierdzić. Zresztą dwukrotne użycie "dla" nie wpływa dobrze na sformułowanie tego rozumowania. Lepiej jest napisać: rozważmy funkcję \(\displaystyle{ g}\) zadaną wzorem ... Jest ona homorfizmem bo...
A co to jest \(\displaystyle{ e}\) i dlaczego zachodzi ta równość?
JK
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Homomorfizmy grupy
Zbioru homomorfizmów \(\displaystyle{ Hom(G_{1},G_{2})}\).(Chyba)
Trochę się w tym pogubiłam
Trochę się w tym pogubiłam
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy