Homomorfizm grup z działaniem modulo

boo007 · Post autor: **boo007** » 8 sie 2006, o 13:25

Wykazać, że grupa \(\displaystyle{ Z_8}\) z dodawaniem modulo jako działaniem odwzorowuje się homomorficznie na grupę \(\displaystyle{ Z_4}\) z dodawaniem modulo 4 jako działaniem. \(\displaystyle{ Z_n}\)- zbiór reszt modulo n.

Sir George · Post autor: **Sir George** » 13 sie 2006, o 17:23

Każdemu elementowi grupy \(\displaystyle{ {\mathbb Z}_8}\) przyporządkowujesz jego resztę z dzielenia przez 4.
Łatwo sprawdzić, że jest to homomorfizm...

boo007 · Post autor: **boo007** » 13 sie 2006, o 20:42

Mógłbyś to rozpisać?

Sir George · Post autor: **Sir George** » 13 sie 2006, o 22:52

boo007 pisze:Mógłgyś to rospisać?

???

Znaczy co rozpisać? Homomorfizm?
\(\displaystyle{ \phi \, : \, {\mathbb Z}_8 \ni g \, \mapsto g' {\mathbb Z}_4}\), gdzie \(\displaystyle{ g \, \equiv \, g' \ (\mbox{mod} 4)}\)

czyli
\(\displaystyle{ \begin{array}{ccc}\phi(0) & = & 0 \cr \phi(1) & = & 1 \cr \phi(2) & = & 2 \cr \phi(3) & = & 3 \cr \phi(4) & = & 0 \cr \phi(5) & = & 1 \cr \phi(6) & = & 2 \cr \phi(7) & = & 3 \end{array}}\)

Teraz wystarczy sprawdzić, że \(\displaystyle{ \phi(g+g') \ = \ \phi(g) \, + \, \phi(g')}\)
gdzie pierwsze dodawanie jest w \(\displaystyle{ {\mathbb Z}_8}\), a drugie w \(\displaystyle{ {\mathbb Z}_4}\)

...ale bez przesady, mógłbyś to sam zrobić... trochę wysiłku (mimo wakacji) zawsze dobrze zrobi każdemu...

boo007 · Post autor: **boo007** » 14 sie 2006, o 00:13

Sir George pisze:... plące Ci się palczą ?

tak

Zamienił bym g i g' w ostatniej funkcji na a,b (żeby się nie mieszało z definicją funkcji)