Matematyka.pl

Czy para \(\displaystyle{ (\ZZ_{51}, \cdot_{51})}\) jest grupą. - W odpowiedzi jest, że to prawda.
Wg mnie nie bo aby struktura była grupą to liczba musi być pierwsza.

Jesteś pewny, że dobrze przepisałeś zadanie?

JK

Ok w grupie \(\displaystyle{ \ZZ_{51}}\) jest w prawym górnym rogu znak \(\displaystyle{ \perp}\). Czy wtedy jest inny warunek na istnienie grupy?

Co zatem oznacza \(\displaystyle{ \ZZ_{51}^\perp}\) ?

JK

Zbiór liczb \(\displaystyle{ \{1,2, ... ,50\}}\) które są względnie pierwsze z \(\displaystyle{ 51}\).

Mam jeszcze takie zadanie para \(\displaystyle{ (\ZZ_{41},\cdot_{41})}\) bez znaku \(\displaystyle{ \perp}\) i jest podane w odpowiedzi, że nie jest to grupa. Tyle tylko, że liczba \(\displaystyle{ 41}\) jest pierwsza. O co tu chodzi?

NIEzdolny pisze: ↑9 cze 2022, o 20:43 Zbiór liczb \(\displaystyle{ \{1,2, ... ,50\}}\) które są względnie pierwsze z \(\displaystyle{ 51}\).

No i teraz masz pokazać, że ten zbiór z mnożeniem modulo \(\displaystyle{ 51}\) jest grupą. Z łącznością i elementem neutralnym nie ma problemu, wystarczy pokazać, że każdy element \(\displaystyle{ a\in\ZZ_{51}^\perp}\) ma element odwrotny (co wymaga skorzystanie z faktu, że \(\displaystyle{ NWD(a,51)=1}\)).

NIEzdolny pisze: ↑9 cze 2022, o 20:43 Mam jeszcze takie zadanie para \(\displaystyle{ (\ZZ_{41},\cdot_{41})}\) bez znaku \(\displaystyle{ \perp}\) i jest podane w odpowiedzi, że nie jest to grupa. Tyle tylko, że liczba \(\displaystyle{ 41}\) jest pierwsza. O co tu chodzi?

A zero ma element odwrotny?

JK

PS
Używaj \(\displaystyle{ \LaTeX}\)a, bo w końcu zacznę wyrzucać posty do Kosza.

No i teraz masz pokazać, że ten zbiór z mnożeniem modulo \(\displaystyle{ 51}\) jest grupą. Z łącznością i elementem neutralnym nie ma problemu, wystarczy pokazać, że każdy element \(\displaystyle{ a\in\ZZ^\perp_{51}}\) ma element odwrotny (co wymaga skorzystanie z faktu, że \(\displaystyle{ NWD(a,51)=1}\)).

Czyli każda para \(\displaystyle{ \ZZ^\perp}\) będzie grupą?

A zero ma element odwrotny?

Chyba nie, bo wszystko pomnożone przez zero daje \(\displaystyle{ 0}\) a nie \(\displaystyle{ 1}\)

NIEzdolny pisze: ↑9 cze 2022, o 21:44 Czyli każda para \(\displaystyle{ \ZZ^\perp}\) będzie grupą?

Jak zrobisz dowód dla \(\displaystyle{ \ZZ^\perp_{51}}\) to zobaczysz, czy uogólnia się (tzn czy 51 jest ważne, czy nie).

NIEzdolny pisze: ↑9 cze 2022, o 21:44 Chyba nie, bo wszystko pomnożone przez zero daje \(\displaystyle{ 0}\) a nie \(\displaystyle{ 1}\)

No to jak to wpływa na bycie (bądź nie) grupą?

JK

No to jak to wpływa na bycie (bądź nie) grupą?

Skoro nie ma elementu odwrotnego do 0 to nie będzie to grupą, tak?

Tak.

JK

Czy to znaczy, że każde \(\displaystyle{ (\ZZ_m,\cdot_m)}\) nie będzie grupą, bo nie ma elementu odwrotnego dla \(\displaystyle{ 0}\)?

No i teraz masz pokazać, że ten zbiór z mnożeniem modulo \(\displaystyle{ 51}\) jest grupą. Z łącznością i elementem neutralnym nie ma problemu, wystarczy pokazać, że każdy element \(\displaystyle{ a\in\ZZ^\perp_{51}}\) ma element odwrotny (co wymaga skorzystanie z faktu, że \(\displaystyle{ NWD(a,51)=1}\)).

Jeżeli każde \(\displaystyle{ a \in\ZZ^\perp}\) jest względnie pierwsze z \(\displaystyle{ 51}\) to oznacza, że ma element odwrotny, co oznacza, że będzie to grupa.

Tak.

Otaczaj tagami [latex][/latex] całe wyrażenia matematyczne.

JK

Czy można w takim razie uogólnić to że każde \(\displaystyle{ (\ZZ^\perp_m, \cdot_m)}\) będzie grupą?

NIEzdolny pisze: ↑9 cze 2022, o 22:16Jeżeli każde \(\displaystyle{ a \in\ZZ^\perp}\) jest względnie pierwsze z \(\displaystyle{ 51}\) to oznacza, że ma element odwrotny,

A udowodniłeś to? Jak?

NIEzdolny pisze: ↑9 cze 2022, o 22:31 Czy można w takim razie uogólnić to że każde \(\displaystyle{ (\ZZ^\perp_m, \cdot_m)}\) będzie grupą?

Jan Kraszewski pisze: ↑9 cze 2022, o 22:01 Jak zrobisz dowód dla \(\displaystyle{ \ZZ^\perp_{51}}\) to zobaczysz, czy uogólnia się (tzn czy 51 jest ważne, czy nie).

I powtarzam - poprawianie Twoich postów jest uciążliwe:

Jan Kraszewski pisze: ↑9 cze 2022, o 22:23Otaczaj tagami [latex][/latex] całe wyrażenia matematyczne.

JK

Jeżeli każde \(\displaystyle{ (\ZZ_m,\cdot_m)}\) nie będzie grupą to czy \(\displaystyle{ (\ZZ_m,+_m)}\) też nie będzie grupą?