Matematyka.pl

Jak rozwiązać takie zadania:

1. Wyznaczyc najmniejszy generator grupy \(\displaystyle{ Z^{*} _{23}}\) z mnżeniem.

2. Sprawdzic czy liczba 3 jest generatorem grupy a) \(\displaystyle{ Z^{*} _{53}}\) b) \(\displaystyle{ Z^{*} _{47}}\) (obie grupy z mnożeniem)

3. Obliczyc ilosc elementów rzędu 1, 2, 4, 8 i 16 w grupie \(\displaystyle{ Z_{16} \times Z_{16}}\) z dodawaniem.

Bardzo bym prosiłam o pomóc, chodzi mi przede wszystkim o sposób jak robi sie zadania takiego typu.

Na przykład 1.

Rząd elementu dzieli 22, więc wystarczy wykluczyć 2 i 11. Do kwadratu łatwo podnieść a do potęgi 11-tej podnosimy np. ze wzoru:

\(\displaystyle{ a^{11}=a^8\cdot a^3=(((a^2)^2)^2\cdot a^3}\)

Na przykład rząd 2 nie wynosi 2, bo \(\displaystyle{ 2^2\neq 1\in Z_{23}}\), lecz:

\(\displaystyle{ 2^{11}=(2^2)^2^2\cdot 2^3=16^2\cdot 8=256\cdot 8=26\cdot 8=3\cdot 8=24=1\in Z_{23}}\)

czyli 2 nie jest generatorem, bo ma rząd 11. Sprawdzamy więc dla 3 itd.

Mam pytanie z tego samego zagadnienia... W jaki sposób sprawdzić czy liczba 3 jest generatorem grupy \(\displaystyle{ Z^{*}_{53}}\)?

Tak łopatologicznie, to trzeba obliczyc rzad grupy, i nastepnie podnosic 3 do wszystkich poteg od 1 do rządu, sprawdzic czy generuja sie wszystkie elementy, a takze czy ostatnia wartosc to 1. Ale czy nie da sie tego zrobić prościej?

xiikzodz pisze:Na przykład 1.

Rząd elementu dzieli 22, więc wystarczy wykluczyć 2 i 11. Do kwadratu łatwo podnieść a do potęgi 11-tej podnosimy

A to 22 skąd się bierze (ostatni element grupy, czy może rząd grupy?)