Elementy grupy ilorazowej

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
aa1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Elementy grupy ilorazowej

Post autor: aa1 »

Wskazać elementy grupy ilorazowej\(\displaystyle{ \Phi(7)/H}\), gdzie \(\displaystyle{ H=\{1,8,13,20\}}\) oraz utworzyć tabelkę mnożenia w tej grupie.
\(\displaystyle{ \Phi}\) to jedności monoidu, czyli \(\displaystyle{ \Phi}\)\(\displaystyle{ =\{1,2,3,4,5,6\}}\)

Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć jak wyznaczać te elementy grupy?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Elementy grupy ilorazowej

Post autor: Janusz Tracz »

aa1 pisze: 3 gru 2022, o 21:21 Wskazać elementy grupy ilorazowej\(\displaystyle{ \Phi(7)/H}\), gdzie \(\displaystyle{ H=\{1,8,13,20\}}\)
Na pewno? To da się dzielić przez nie podgrupę? Czy to jest jakiś dziwny zapis i należy elementy \(\displaystyle{ H}\) traktować \(\displaystyle{ \text{ mod }7}\) ? Wtedy to jest po prostu \(\displaystyle{ \left\langle 6\right\rangle }\).I to by nawet miało jakiś tam sens wtedy bo \(\displaystyle{ \left\langle 6\right\rangle \trianglelefteq \Phi(7) }\) dzięki czemu warstwy lewostronne i prawostronne \(\displaystyle{ \Phi(7)}\) względem \(\displaystyle{ \left\langle 6\right\rangle }\) to jeden i ten sam zbiór no i \(\displaystyle{ \Phi(7)/\left\langle 6\right \rangle}\) to grupa. I można te warstwy jawnie wypisać
\(\displaystyle{ \Phi(7)/\left\langle 6\right\rangle = \left\{ a\{1,6\}: a\in \Phi(7) \right\} }\)

a działanie \(\displaystyle{ \times }\) w grupie ilorazowej dane definicją: \(\displaystyle{ a\left\{ 1,6\right\} \times b\left\{ 1,6\right\}=ab\left\{ 1,6\right\} }\).

PS być może nie rozumiem pytania ale wydaje się dziwnie sformułowane na starcie. Jeśli jednak dobrze interpretuję \(\displaystyle{ H}\) to potem się jedynie korzysta z definicji.

PPS normalność podgrupy \(\displaystyle{ \left\langle 6\right\rangle }\) w \(\displaystyle{ \Phi(7)}\) jest oczywista bo każda podgrupa grupy abelowej jest normalna.
aa1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: Elementy grupy ilorazowej

Post autor: aa1 »

To zadanie jest przepisane z książki, więc raczej jego treść jest poprawna. Czy mógłby mi Pan rozpisać jakiś przykład, bo za bardzo nie wiem jak się do tego zabrać.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Elementy grupy ilorazowej

Post autor: Janusz Tracz »

aa1 pisze: 3 gru 2022, o 22:09 To zadanie jest przepisane z książki, więc raczej jego treść jest poprawna.
Nie twierdzę, że jest inaczej. Uważam jednak, że jest napisana dziwnie. Być może jest jakaś motywacja tej dziwności.
aa1 pisze: 3 gru 2022, o 22:09 Czy mógłby mi Pan rozpisać jakiś przykład, bo za bardzo nie wiem jak się do tego zabrać.
Jasne. Proponuję przejść na ty forma Pan w Internecie jest dziwna. Zanim cokolwiek matematycznego tu napiszę uprzedzam, że wciąż mam pewne obawy co do tego zadania. Ale jeśli przyjmujemy, że \(\displaystyle{ H=\left\langle 6\right\rangle }\) to warstwy wyglądają tak: \(\displaystyle{ \Phi(7)/\left\langle 6\right\rangle = \left\{ \left\{ 1,6\right\} , \left\{ 2,5\right\} , \left\{3,4 \right\} \right\}}\). I działania na nich określa wzór który podałem wcześniej. Spróbuj pokazać, że \(\displaystyle{ \left\{ 1,6\right\} \times \left\{ 2,5\right\} = \left\{ 2,5\right\}}\) oraz, że \(\displaystyle{ \left\{ 2,5\right\} \times \left\{ 3,4\right\}= \left\{1,6\right\}}\). I tak dalej można liczyć wszystkie kombinacje, aż się zrobi tabelkę działań.

PS może symbol \(\displaystyle{ \times }\) nie był najrozsądniejszym wyborem na działanie w grupie ilorazowej.
Ostatnio zmieniony 3 gru 2022, o 23:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Elementy grupy ilorazowej

Post autor: Jan Kraszewski »

A jaka to książka?

JK
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Elementy grupy ilorazowej

Post autor: arek1357 »

Treść tego zadania na początku jest całkowicie niezrozumiała i kaleka...Możliwe, że wyrwana jest z szerszego kontekstu, wtedy miałoby to jakieś uzasadnienie... A tak nie wiadomo co autor ma na myśli... Ja tam np. żadnego działania nie widzę...
aa1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: Elementy grupy ilorazowej

Post autor: aa1 »

Jan Kraszewski pisze: 3 gru 2022, o 23:05 A jaka to książka?

JK
J. Rutkowski "Algebra abstrakcyjna w zadaniach"

Sorki, jednak \(\displaystyle{ H=\{1,2,4\}}\) - pomieszałam dwa zadania.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Elementy grupy ilorazowej

Post autor: arek1357 »

Teraz to jasne:
Zadanie powinno brzmieć:

Znajdź Grupę ilorazową \(\displaystyle{ \Phi_{|H}}\) gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) to grupa multiplikatywna modulo siedem a \(\displaystyle{ H}\) to podgrupa tej grupy:

\(\displaystyle{ H=\left\{ 1,2,4\right\} }\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Elementy grupy ilorazowej

Post autor: Jan Kraszewski »

aa1 pisze: 4 gru 2022, o 10:37 \(\displaystyle{ H=\{1,2,4\}}\) pomieszałam dwa zadania.
No tak lepiej...

Masz zatem grupę sześcioelementową, która ilorazujesz przez jej trzyelementową podgrupę normalną, zatem grupa ilorazowa ma dwa elementy. Jedną warstwą jest sama podgrupa, a drugą - reszta.

JK
aa1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 10 lis 2022, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: Elementy grupy ilorazowej

Post autor: aa1 »

Bo w odpowiedziach jest, że \(\displaystyle{ \Phi(7)/H=\{H,3H\}}\), gdzie \(\displaystyle{ 3H=\{3,5,6\}}\) i nie wiem skąd to się wzięło...
Ostatnio zmieniony 4 gru 2022, o 16:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Elementy grupy ilorazowej

Post autor: Janusz Tracz »

aa1 pisze: 4 gru 2022, o 15:53
Janusz Tracz pisze: 3 gru 2022, o 22:59 A jeśli \(\displaystyle{ H=\{1,2,4\}}\), to jak to będzie wyglądać?
Ja nigdy czegoś takiego nie powiedziałem. Więc nie rozumiem skąd ten cytat (rozumiem, że pomyłka w kodzie). W zasadzie to otrzymałaś już dwie odpowiedzi. Pokazałem wcześniej jak zrobić to zadanie przy innym \(\displaystyle{ H}\). Potem jak podejrzewałem okazało się, że nie o takie \(\displaystyle{ H}\) chodziło i JK napisał co trzeba zrobić. Przy czym warto zauważyć, że sposób rozwiązywania się nie zmienił. Zmieniło się jedynie \(\displaystyle{ H}\). Czy potrenowałaś polecane przykłady:
Janusz Tracz pisze: 3 gru 2022, o 22:59 Spróbuj pokazać, że \(\displaystyle{ \left\{ 1,6\right\} \times \left\{ 2,5\right\} = \left\{ 2,5\right\}}\) oraz, że \(\displaystyle{ \left\{ 2,5\right\} \times \left\{ 3,4\right\}= \left\{1,6\right\}}\). I tak dalej można liczyć wszystkie kombinacje, aż się zrobi tabelkę działań.
Bo to jednak daje pewne wyobrażenie. Co do zadania to fakt w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ \left\{ H,3H\right\} }\) bo \(\displaystyle{ 3H=\left\{ 3,6,12\right\} =\left\{ 3,5,6\right\} }\). I jest to druga brakująca warstwa. Bo pierwszą oczywistą jest samo \(\displaystyle{ H}\). I w zasadzie to jest już konic tego zadania. Została tabelka działań ale wciąż zachęcam do policzenia tego samodzielnie zgodnie z regułą o której już pisałem 2 razy.
ODPOWIEDZ