Element pierwszy i odwracalny w pierścieniu

klaudiak · Post autor: **klaudiak** » 5 cze 2012, o 12:43

Wskazać, jeśli istnieją, element pierwszy i odwracalny w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z} [i\sqrt{7}]= \{a+bi\sqrt{7}:\ a,b\in\mathbb{Z}\}}\). Uzasadnic odp. Z góry dziekuej za pomoc..

brzoskwinka1 · Post autor: **brzoskwinka1** » 5 cze 2012, o 14:05

Przykład elementu pierwszego, to liczba \(\displaystyle{ 2.}\)
Grupa elementów odwracalnych tego pierścienia to \(\displaystyle{ U=\{-1 ,1\}.}\)

klaudiak · Post autor: **klaudiak** » 5 cze 2012, o 14:17

Jak uzasadnić formalnie, ze \(\displaystyle{ 2}\) jest elementem pierwszym?

brzoskwinka1 · Post autor: **brzoskwinka1** » 5 cze 2012, o 14:35

\(\displaystyle{ 2=(a+bi\sqrt{7} )(c+di\sqrt{7} ) \Rightarrow 4=(a^2 +7b^2 )(c^2 +7d^2 ) \Leftrightarrow b=d=0 \wedge a= \pm 2 \wedge c= \pm 2.}\)