Matematyka.pl

Zbadać jakiego typu elementem (odwracalnym, rozkładalnym, nierozkładalnym) jest element \(\displaystyle{ a}\) pierścienia \(\displaystyle{ R}\):
a) \(\displaystyle{ a=4, R=\ZZ \left[ \textbf{i} \right]}\)
c) \(\displaystyle{ a=4, R=\ZZ \left[ \frac{1}{2} \right]}\)
e) \(\displaystyle{ a=6x, R=\ZZ \left[ x \right]}\)

Wiem, że w podpunkcie c) jest to element odwracalny. Czy wystarczy napisać, że \(\displaystyle{ 4 \cdot \frac{1}{4}=1}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{4}\in\ZZ \left[ \frac{1}{2} \right]}\), więc \(\displaystyle{ 4}\) jest elementem odwracalnym?

W podpunkcie a) natomiast jest to element rozkładalny. Na chwilę obecną mam tak:
Ponieważ \(\displaystyle{ 4=2 \cdot 2}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\) jest nieodwracalna w \(\displaystyle{ \ZZ \left[ \textbf{i} \right]}\), więc \(\displaystyle{ 4}\) jest elementem rozkładalnym w \(\displaystyle{ \ZZ \left[ \textbf{i} \right]}\).
Czy jest to poprawnie?

e) nie wiem jak zrobić

Skąd wnosisz, że \(\displaystyle{ \frac{1}{4} \in \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{2} \right]}\)?
\(\displaystyle{ \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{2} \right] = \left\{ a+b \frac{1}{2}: a,b \in \mathbb{Z} \right\}}\)
Jeśli chodzi o odwracalność elementów w \(\displaystyle{ K \left[ x \right]}\), to są to elementy odwracalne \(\displaystyle{ K}\)

Pakro pisze:\(\displaystyle{ \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{2} \right] = \left\{ a+b \frac{1}{2}: a,b \in \mathbb{Z} \right\}}\)

Jesteś pewny, że taka jest definicja? Bo nie wygląda to na pierścień...

JK

Pewnie przeczytałeś gdzieś, że

\(\displaystyle{ \QQ[ \sqrt{2} ] = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in \QQ \},}\)

i wyciągnąłeś z tego nazbyt odważny wniosek odnośnie znaczenia zapisu \(\displaystyle{ R[a]}\) w ogólności. :p

Dwa lata temu się ostatnio tym zajmowałem przepraszam za wprowadzenie w błąd!

Pakro pisze:Skąd wnosisz, że \(\displaystyle{ \frac{1}{4} \in \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{2} \right]}\)?
\(\displaystyle{ \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{2} \right] = \left\{ a+b \frac{1}{2}: a,b \in \mathbb{Z} \right\}}\)
Jeśli chodzi o odwracalność elementów w \(\displaystyle{ K \left[ x \right]}\), to są to elementy odwracalne \(\displaystyle{ K}\)

Zasugerowałam się przykładem z książki, gdzie trzeba było sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \frac{8}{27}}\) jest elementem odwracalnym w \(\displaystyle{ \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{6} \right]}\), tylko szczerze mówiąc nie rozumiem również czemu w tamtym przypadku \(\displaystyle{ \frac{27}{8}\in\mathbb{Z} \left[ \frac{1}{6} \right]}\).

martynar123 pisze:tylko szczerze mówiąc nie rozumiem również czemu w tamtym przypadku \(\displaystyle{ \frac{27}{8}\in\mathbb{Z} \left[ \frac{1}{6} \right]}\).

Bo \(\displaystyle{ \frac12=\frac16+\frac16+\frac16\in \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{6} \right]}\), zatem \(\displaystyle{ \frac18=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\in \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{6} \right]}\) i dalej już prosto.

JK

Czyli wychodzi na to, że mój podpunkt c) jest rozwiązany dobrze ?
Bo \(\displaystyle{ \frac{1}{4}= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\in \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{2} \right]}\).
Jakieś wskazówki do pozostałych?

martynar123 pisze:Czyli wychodzi na to, że mój podpunkt c) jest rozwiązany dobrze ?

Tak. Zwróciliśmy uwagę, że Pakro pomylił się.

JK

Ok. Dziękuję bardzo.

Czy dobrze myślę w e?
\(\displaystyle{ 6x=6\cdot x}\), \(\displaystyle{ 6 \notin U(\mathbb{Z}[x])}\) i \(\displaystyle{ x \notin U(\mathbb{Z}[x])}\), czyli będzie to element rozkładalny?