Matematyka.pl

Proszę o pomoc w dowodzie:
Zbadac czy jezeli \(\displaystyle{ A <R}\) (\(\displaystyle{ A}\) jest podpierscieniem pierscienia \(\displaystyle{ R}\)) i \(\displaystyle{ a \in A}\) jest dzielnikiem zera w \(\displaystyle{ A}\), to jest dzielnikiem zera w \(\displaystyle{ R}\) i na odwrót.
Czy w drugą stronę może być poprzez kontrprzykład, ze \(\displaystyle{ 2}\) jest dzielnikiem zera w \(\displaystyle{ \ZZ_{10}}\) ale nie jest dzielnikiem zera w \(\displaystyle{ \ZZ_5}\)?

To, że \(\displaystyle{ a}\) jest dzielnikiem zera w \(\displaystyle{ A}\) oznacza tyle że \(\displaystyle{ 0=ab=ba}\) dla pewnego \(\displaystyle{ b\in A}\), a więc \(\displaystyle{ a}\) też dzielnikiem zera w \(\displaystyle{ R}\). W drugą stronę tak być nie musi, co łatwo widać, gdy nie wymagamy by podpierścień miał wspólną jedynkę z \(\displaystyle{ R}\). Rzeczywiście, rozważmy pierścień \(\displaystyle{ R = \mathbb Z\oplus \mathbb Z}\) oraz podpierścień \(\displaystyle{ A=\mathbb {Z} \oplus \{0\}}\). Pierścień \(\displaystyle{ A}\) nie ma dzielników zera, ale z drugiej strony każdy element \(\displaystyle{ A}\) jest dzielnikiem zera w \(\displaystyle{ R}\).

Co do Twojej propozycji, to musisz najpierw dokonać utożsamienia \(\displaystyle{ \mathbb Z_5}\) z podpierścieniem \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{10}}\)...