Witam,
to zadanie zostało już rozwiązane tutaj na forum, jednak ja potrzebuję sama umieć je udowodnić, dlatego zebrałam moją skąpą wiedzę i spróbowałam sama je udowodnić, podpierając się rozwiązanym już wcześniej zadaniem. Chciałabym się dowiedzieć, czy moje rozważania są poprawne i czy nie ma błędów w moich dowodach.
Oto zadanie:
\(\displaystyle{ Niech \ G \ -grupa, \ (a,b) G G, ft|a \right| = k \mathbb{N} ^{*}, ft|b \right| = l \mathbb{N} ^{*}.}\)
Odpowiedzieć na pytanie, (z uzasadnieniem), które z poniższych równości są prawdziwe:
\(\displaystyle{ \left|(a,b) \right| = NWW(k,l), \ ft|ab \right| = kl, \ ft|ab \right|=NWW(k,l), \ ft|a ^{-1} \right| = k.}\)
Oto moje dowody:
a) \(\displaystyle{ \left|(a,b) \right| = NWW(k,l)}\)
\(\displaystyle{ \left|(a,b) \right| = r, \hbox{r jest dodatnia liczba calkowita, taka, ze:} \ (a,b) ^{r} = (e,e) (a ^{r}, b ^{r})=(e,e) a ^{r}=e=b ^{r}}\)
Oznacza to, że r jest najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią, dla której zachodzi powyższa równość.
\(\displaystyle{ \NWW(k,l) = r \ \hbox {takie, że:} \ k|r \ i \ l|r.}\)
Wiemy, że
\(\displaystyle{ \left|a \right|= k \mathbb{N} ^{*}, ft|b \right| = l \mathbb{N} ^{*}}\)
oznacza to, żek jest najmniejszą liczbą naturalną różną od 0, dla której
\(\displaystyle{ a ^{k} = e}\)
Analogicznie l jest najmniejszą liczbą naturalną różną od zera, dla której:
\(\displaystyle{ b ^{l} = e}\)
A więc:
\(\displaystyle{ a ^{r}=e \ i \ a ^{k} = e \ oraz \ b ^{r} = e \ i \ b ^{l} = e}\)
\(\displaystyle{ k|r r=k r=k x}\)
oraz
\(\displaystyle{ l|r r=l r=l z}\)
Z tych dwóch wierszy wynika, że:
\(\displaystyle{ k=l=r r=k l y}\)
Wiemy, że r jest najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią, a więc
\(\displaystyle{ r=k l1}\)
Zatem dane równanie jest prawdziwe.
b) kolejna równość:
\(\displaystyle{ \left|ab \right|=kl}\)
\(\displaystyle{ \left|ab \right| = ft| \right|}\)
Kontr przykład:
\(\displaystyle{ \mathbb{Z} _{2}}\)
wiemy, że:
\(\displaystyle{ \mathbb{Z} _{2} = {0,1}}\)
[text]Niech a=b=1[/latex]
\(\displaystyle{ left|a
ight|= ft|1
ight|= ft|
ight|=2[/text]
\(\displaystyle{ ={0,1}}\)
\(\displaystyle{ \left|b \right|=2}\)
\(\displaystyle{ \left|ab \right| = ft|1 \right| = 2}\)
\(\displaystyle{ \left|ab \right| = k l \ gdzie \ k= ft|a \right| \ i l= ft|b \right|}\)
\(\displaystyle{ \left|ab \right| = 1 k l = 4}\)
A więc pokazaliśmy, że dane równanie nie jest prawdziwe.
c) następna nierówność:
\(\displaystyle{ \left|ab \right| = NWW(k,l)}\)
\(\displaystyle{ Niech \G = \mathbb{Z} _{3}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{Z} _{3} = {0,1,2}}\)
\(\displaystyle{ Niech \ a = 1, \ b= 2}\)
\(\displaystyle{ \left|a \right| = ft|1 \right| = 2 = k}\)
\(\displaystyle{ \left|b \right| = ft|2 \right| = 3 = l}\)
\(\displaystyle{ NWW(k,l)=NWW(2,3)=6}\)
\(\displaystyle{ \left|ab \right| = ft|2 \right| NWW(2,3) = 6}\)
Pokazaliśmy, że dane równanie także jest nieprawdziwe.
d) ostatnia równość:
\(\displaystyle{ \left|a ^{-1} \right| = k}\)
k - rząd elementu a, to znaczy, że jest najmniejszą liczbą spełniającą równość:
\(\displaystyle{ a ^{k}=e.}\)
\(\displaystyle{ \jeśli ft|a ^{-1} \right| = k \ to \ oznacza, \ że \ (a ^{-1}) ^{k}=e, \ czyli \ (a ^{-1}) ^{k}=(a ^{k}) ^{-1}=e ^{-1}=e}\)
Element odwrotny do elementu neutralnego to element neutralny ( 0 bądź 1).
Czyli ta równość jest prawdziwa.
Dowodu tej nierówności jestem najbardziej niepewna. Bardzo proszę o skorygowanie mojego toku myślenia. Bardzo dziękuję.
Justyna}\)