Matematyka.pl

Sprawdzić, że odwzorowanie \(\displaystyle{ \varphi:\mathbb{R} ^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}}\) określone wzorem \(\displaystyle{ \varphi(a _{1},a_{2},a_{3})=(a_{1},a_{1}+a_{2}-a_{3},a_{3}) }\) jest izomorfizmem struktury \(\displaystyle{ (\mathbb{R} ^{3};\mathbb{R};+,\circ;\cdot)}\) na siebie, dla dowolnych \(\displaystyle{ a,a_{i},b_{i}\in\mathbb{R} (i=1,2,3)}\)
Działania są określono następująco:
\(\displaystyle{ (a _{1},a_{2},a_{3})+(b_{1},b_{2},b_{3}) =(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3})}\)
\(\displaystyle{ (a _{1},a_{2},a_{3})\circ(b_{1},b_{2},b_{3}) =(a_{1}b_{1},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3},a_{3}b_{3})}\)
\(\displaystyle{ a\cdot(a_{1},a_{2},a_{3}) =(aa_{1},aa_{2},aa_{3})}\)
Proszę o podpowiedź przynajmniej dla 1 i 3 działania.
Zadanie nr 44 jest z książki Rutkowskiego "Algebra Abstrakcyjna w działaniach". Tytuł podaję aby ktoś inny mógł w przyszłości odnaleźć rozwiązanie.

Z definicji izomorfizmu - masz sprawdzić, czy odwzorowanie jest bijekcją i czy zachowuje działania. Z czym jest problem?

JK

Sprawdzić, że odwzorowanie \(\displaystyle{ \varphi:\mathbb{R} ^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}}\) określone wzorem \(\displaystyle{ \varphi(a _{1},a_{2},a_{3})=(a_{1},a_{1}+a_{2}-a_{3},a_{3}) }\) jest izomorfizmem struktury \(\displaystyle{ (\mathbb{R} ^{3};\mathbb{R};+,\circ;\cdot)}\) na siebie, dla dowolnych \(\displaystyle{ a,a_{i},b_{i}\in\mathbb{R} (i=1,2,3)}\)
NP. dla 1 działania:
\(\displaystyle{ \varphi((a _{1},a_{2},a_{3})+(b_{1},b_{2},b_{3})) =\varphi((a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3}))=(a_{1}+b_{1},a_{1}+b_{1}+a_{2}+b_{2}-a_{3}-b_{3},a_{3}+b_{3})}\)
i
\(\displaystyle{ \varphi((a _{1},a_{2},a_{3})+(b_{1},b_{2},b_{3})) =\varphi(a _{1},a_{2},a_{3})+\varphi(b_{1},b_{2},b_{3})=(a_{1},a_{1}+a_{2}-a_{3},a_{3})+(b_{1},b_{1}+b_{2}-b_{3},b_{3})=(a_{1}+b_{1},a_{1}+b_{1}+a_{2}+b_{2}-a_{3}-b_{3},a_{3}+b_{3})}\)

Czyli wychodzi to samo. Ale to chyba nie jest formalny sposób dowodzenia tego. Nawet zdecydowanie nie. Jak wyjaśnić izomorfizm? Funkcja jest zachowana, tak jak i elementy.

july04 pisze: ↑5 sty 2024, o 23:08Czyli wychodzi to samo. Ale to chyba nie jest formalny sposób dowodzenia tego. Nawet zdecydowanie nie.

A niby dlaczego nie? Zdecydowanie tak...

Trochę ładniej by to wyglądało, gdybyś napisał

\(\displaystyle{ \varphi((a _{1},a_{2},a_{3})+(b_{1},b_{2},b_{3})) =\varphi((a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3}))=(a_{1}+b_{1},a_{1}+b_{1}+a_{2}+b_{2}-a_{3}-b_{3},a_{3}+b_{3})=\\=(a_{1}+b_{1},a_{1}+a_{2}-a_{3}+b_{1}+b_{2}-b_{3},a_{3}+b_{3})=(a_{1},a_{1}+a_{2}-a_{3},a_{3})+(b_{1},b_{1}+b_{2}-b_{3},b_{3})=\varphi(a _{1},a_{2},a_{3})+\varphi(b_{1},b_{2},b_{3}),}\)

ale formalnie należy zrobić dokładnie to, co zrobiłeś. To samo dla dwóch pozostałych działań oraz uzasadnienie, że jest to bijekcja.

july04 pisze: ↑5 sty 2024, o 23:08Funkcja jest zachowana, tak jak i elementy.

JK

Dziękuję to mi wystarczy