Matematyka.pl

Witam w to niedzielne popołudnie.
Mam zadanie, które brzmi: Sprawdź, czy dana para jest grupą:
\(\displaystyle{ Q(\sqrt{5})=\{a+b\sqrt{5}: a,b \in Q\}}\)
\(\displaystyle{ (Q(\sqrt{5}), \cdot )}\)
\(\displaystyle{ \cdot}\) oznacza mnożenie.

Nijak nie mogę tego ugryźć.

Pozdrawiam.

Co musimy sprawdzić, by móc stwierdzić że zbiór z pewnym działaniem jest grupą?

Należy sprawdzić, czy:
1. działanie jest łączne
2. istnieje element odwrotny do każdego elementu
3. istnieje element neutralny działania

Tak jest w teorii, którą znam, lecz widocznie nie na tyle, aby móc rozwiązać owy przykład.

Raczej 2. powinno być 3., a 3. powinno być 2. Najpierw mamy element neutralny, dopiero później możemy mówić o elementach odwrotnych. Poza tym zabrakło:

0. zbiór jest zamknięty na działanie.

Jaki masz problem ze sprawdzeniem, czy działanie jest łączne? Wiesz, co łączność oznacza?

0. czy jest zamknięte ze względu na działanie:
Niech \(\displaystyle{ x,y}\) będą dowolnymi elementami z naszego zbioru, czyli: \(\displaystyle{ x=a_1+b_1\sqrt{5},y=a_2+b_2\sqrt{5},}\)
Wówczas \(\displaystyle{ x \cdot y=(a_1+b_1\sqrt{5}) \cdot (a_2+b_2\sqrt{5})=a_1 \cdot a_2+ a_1\cdot b_2\sqrt{5}+ a_2 \cdot b_1\sqrt{5}+5b_1b_2=(a_1 \cdot a_2+5b_1b_2)+(a_1\cdot b_2+a_2\cdot b_2)\sqrt{5}}\)
czyli \(\displaystyle{ x \cdot y}\) nalezy do naszego zbioru.

1. czy działanie jest łączne
\(\displaystyle{ (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}\) dla x,y,z należącego do \(\displaystyle{ Q(\sqrt{5})}\)
....