Ćwiczenie z algebry liniowej

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Zefir_a
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 30 maja 2023, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Ćwiczenie z algebry liniowej

Post autor: Zefir_a »

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_4}\) z działaniem dodawania modulo \(\displaystyle{ 4}\) jest grupą.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Ćwiczenie z algebry liniowej

Post autor: janusz47 »

Co to jest zbiór \(\displaystyle{ \ZZ_{4} ?}\)

Jaką strukturę algebraiczną (jakie spełnia warunki ?) nazywa się grupą?

Proszę sprawdzić, czy elementy zbioru \(\displaystyle{ \ZZ_{4} }\) spełniają warunki grupy ?

Dodano po 20 godzinach 3 minutach 55 sekundach:
Zbiór \(\displaystyle{ \ZZ_{4} = \{0,1,2,3 \} }\) określamy jako zbiór wszystkich możliwych reszt z dzielenia liczb całkowitych przez liczbę \(\displaystyle{ 4 }\)

Tabelka dodawania modulo \(\displaystyle{ 4:}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline
\oplus_{4} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ \hline
2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\ \hline
3 & 3 & 0 & 1 & 2 \\ \hline
\end{tabular} }\)


Grupą nazywamy strukturę algebraiczną \(\displaystyle{ (G, \circ), }\) która spełnia warunki (aksjomaty):

\(\displaystyle{ G1}\) działanie jest łączne:

\(\displaystyle{ \bigwedge_{g_{1}, g_{2},g_{3}} g_{1} \circ (g_{2}\circ g_{3}) = (g_{1}\circ g_{2})\circ g_{3}, }\)

\(\displaystyle{ G2 }\) działanie ma element neutralny

\(\displaystyle{ \bigvee_{e\in G} \bigwedge_{g\in G} e\circ g = g\circ e = g,}\)

\(\displaystyle{ G3 }\) dla każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ G }\) istnieje element odwrotny:

\(\displaystyle{ \bigwedge_{g\in G} \bigvee_{h\in G} g\circ h = h\circ g = e }\)


Mamy sprawdzić czy struktura \(\displaystyle{ (G, \oplus_{4}) }\) jest grupą, to znaczy czy spełnia aksiomaty \(\displaystyle{ G1-G4. }\)

Z działania dodawania modulo \(\displaystyle{ 4 }\) wynika, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b, c \in \ZZ_{4} }\)

\(\displaystyle{ a \oplus_{4} b = b \oplus_{4}{a},}\)

\(\displaystyle{ (a\oplus_{4} b) \oplus_{4} c = \oplus_{4}(a + b)\oplus_{4}(c) = \oplus_{4}(\oplus_{4}(a+b)+c) = \oplus_{4}(a+b+c).}\)

\(\displaystyle{ a \oplus(b \oplus_{4} c) = (b \oplus_{4} c) \oplus_{4} a = \oplus_{4}(b+c+a) = \oplus_{4}(a+b+c),}\)

Równości te wynikają z zależności \(\displaystyle{ (a)_{4} = (b)_{4} \leftrightarrow 4|(a-b) }\) oraz \(\displaystyle{ 4|(a –(a)_{4}).}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ 0 \in \ZZ_{4} }\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ a \in \ZZ_{4} }\)

\(\displaystyle{ \oplus_{4}(0 + a) = \oplus_{4}(a+0)= a, }\) więc \(\displaystyle{ 0 }\) jest elementem neutralnym działania \(\displaystyle{ \oplus_{4}.}\)

Z równości \(\displaystyle{ 0\oplus_{4} 0 = 0 }\) wynika, że \(\displaystyle{ \ominus_{4} 0 = 0.}\)

Natomiast dla każdego \(\displaystyle{ a \in \ZZ_{4} , \ \ a>0 }\) mamy \(\displaystyle{ 4- a \in \ZZ_{4} }\) oraz \(\displaystyle{ a \oplus_{4} (4-a) = (4-a)\oplus_{4} a= 0.}\)

Zatem dla każdego \(\displaystyle{ a \in \ZZ_{4} }\) istnieje element \(\displaystyle{ \ominus_{4} a }\) przeciwny do \(\displaystyle{ a }\) i wyraża się on wzorem:

\(\displaystyle{ \ominus_{4} a = \begin{cases} \ \ \ \ 0, \ \ \text{ jeśli} \ \ a= 0, \\ 4 - a, \ \ \text{jeśli} \ \ a\neq 0. \end{cases} }\)
Ostatnio zmieniony 31 maja 2023, o 19:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ćwiczenie z algebry liniowej

Post autor: a4karo »

janusz47 pisze: 31 maja 2023, o 18:32 Co to jest zbiór \(\displaystyle{ \ZZ_{4} ?}\)

(...)


Mamy sprawdzić czy struktura \(\displaystyle{ (G, \oplus_{4}) }\) jest grupą, to znaczy czy spełnia aksiomaty \(\displaystyle{ G1-G4. }\)

Z działania dodawania modulo \(\displaystyle{ 4 }\) wynika, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b, c \in \ZZ_{4} }\)

\(\displaystyle{ a \oplus_{4} b = b \oplus_{4}{a},}\)

\(\displaystyle{ (a\oplus_{4} b) \oplus_{4} c =\red{ \oplus_{4}(a + b)}\oplus_{4}(c) = \red{\oplus_{4}(\oplus_{4}(a+b)+c)} =\red{ \oplus_{4}(a+b+c)}.}\)
\(\displaystyle{ a \oplus(b \oplus_{4} c) = (b \oplus_{4} c) \oplus_{4} a = \red{\oplus_{4}(b+c+a)} =\red{ \oplus_{4}(a+b+c)},}\)
\(\displaystyle{ \oplus_4}\) jest działaniem dwuargumentowym, więc czerwone zapisy nie mają sensu


Równości te wynikają z zależności \(\displaystyle{ (a)_{4} = (b)_{4} \leftrightarrow 4|(a-b) }\) oraz \(\displaystyle{ 4|(a –(a)_{4}).}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ 0 \in \ZZ_{4} }\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ a \in \ZZ_{4} }\)

\(\displaystyle{ \red{ \oplus_{4}(0 + a) = \oplus_{4}(a+0)}= a, }\) więc \(\displaystyle{ 0 }\) jest elementem neutralnym działania \(\displaystyle{ \oplus_{4}.}\)

Z równości \(\displaystyle{ 0\oplus_{4} 0 = 0 }\) wynika, że \(\displaystyle{ \ominus_{4} 0 = 0.}\)
Co to jest \(\displaystyle{ \ominus_4}\)?

Natomiast dla każdego \(\displaystyle{ a \in \ZZ_{4} , \ \ a>0 }\) mamy \(\displaystyle{ 4- a \in \ZZ_{4} }\) oraz \(\displaystyle{ a \oplus_{4} (4-a) = (4-a)\oplus_{4} a= 0.}\)
W zbiorze `\ZZ_4` nie ma porządku, więć zapis `a>0` nie ma sensu
Zatem dla każdego \(\displaystyle{ a \in \ZZ_{4} }\) istnieje element \(\displaystyle{ \ominus_{4} a }\) przeciwny do \(\displaystyle{ a }\) i wyraża się on wzorem:

\(\displaystyle{ \ominus_{4} a = \begin{cases} \ \ \ \ 0, \ \ \text{ jeśli} \ \ a= 0, \\ 4 - a, \ \ \text{jeśli} \ \ a\neq 0. \end{cases} }\)
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Ćwiczenie z algebry liniowej

Post autor: arek1357 »

Zastanawiam się czy zawsze trzeba taranować otwarte drzwi...
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Ćwiczenie z algebry liniowej

Post autor: janusz47 »

Addytywna grupa klas modulo \(\displaystyle{ m }\) [1]

Jest to grupa, której elementami, są klasy reszt modulo [tex]n [/tex] z naturalnym działaniem indukowanym przez dodawanie w zbiorze liczb całkowitych.

Grupę tę traktujemy jako zbiór [tex] Z_{n} = \{0,1,2,\ \ ... \ \ ,n-1\} [/latex] z działaniem [\latex] \oplus [/latex] zdefiniowanym dla \(\displaystyle{ a, b\in \ZZ_{n} \ \ a\oplus b }\) jest resztą z dzielenia sumy liczb przez \(\displaystyle{ n, \ \ n\in \NN. }\)

Z określenia tego wynika, że \(\displaystyle{ |Z|_{n} = n.}\)


Twierdzenie

Niech \(\displaystyle{ G = \{0,1,2,\ \ ...\ \ n-1\}, \ \ n\in \NN.}\)

Wtedy para \(\displaystyle{ ( G, \ \ \oplus_{n}) }\) jest grupą, gdzie działanie

\(\displaystyle{ \oplus_{n} }\) lub \(\displaystyle{ |_{+} }\) określone jest wzorem:

\(\displaystyle{ a \oplus_{n} b = \begin{cases} a +b, \ \ \text{ gdy} \ \ a +b < n \\ a + b - n \ \ \text{gdy}, \ \ a +b \geq n \end{cases} }\)

Dowód:

\(\displaystyle{ (i) \ \ \bigwedge_{a,b \in G} a \oplus_{n} b = b \oplus_{n} a }\)

\(\displaystyle{ (ii) \ \ \bigwedge_{a,b,c \in G} (a + \oplus_{n} b) \oplus_{n} c = \oplus_{n}(a+b) \oplus_{n} c = \oplus_{n}(\oplus_{n}(a+b)+c)= \oplus_{n}(a+b+c).}\)

Korzystając z przemienności działania \(\displaystyle{ \oplus_{n} }\) oraz \(\displaystyle{ (ii) }\)

\(\displaystyle{ a + (b \oplus_{n} c) = (b \oplus_{n} c)+ a =\oplus_{n}(b+c+a) = \oplus_{n}(a+b+c).}\)

\(\displaystyle{ (iii) \ \ 0 \in \ZZ_{n} }\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ a \in \ZZ_{n} }\) zachodzi równość

\(\displaystyle{ a \oplus_{n} 0 = 0 + \oplus_{n} a = a, }\) więc \(\displaystyle{ 0 }\) jest elementem neutralnym działania.

\(\displaystyle{ (iv) \bigwedge_{a \in \ZZ_{n}} a>0 }\) mamy \(\displaystyle{ n-a \in \ZZ_{n} }\) istnieje element przeciwny do \(\displaystyle{ a }\) i wyraża się wzorem:

\(\displaystyle{ \ominus_{n} a = \begin{cases} 0 \ \ \text{jeśli} \ \ a = 0 \\ n -a \ \ \text{jeśli} \ \ a\neq 0 \end{cases},}\)

gdzie działanie \(\displaystyle{ \ominus_{n} }\) określone jest wzorem

\(\displaystyle{ a \ominus_{n} b = \begin{cases} a - b \ \ \text{jeśli} \ \ a -b \geq 0 \ \ (a\geq b) \\ a-b + n \ \ \text{\jeśli} \ \ a-b<0 \ \ (a<b) \end{cases}.}\)


[1] Czesław Bagiński. Wstęp do teorii grup. SCRIPT Warszawa 2002.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Ćwiczenie z algebry liniowej

Post autor: Janusz Tracz »

Ile z tej wypowiedzi to cytat z książki: Czesław Bagiński. Wstęp do teorii grup. SCRIPT Warszawa 2002, a ile Twojej twórczej działalności?

PS pytam bo spora część napisów które się tu pojawiły nie ma sensu. I zastanawiam się skąd się wzięły rzeczy typu: \(\displaystyle{ \oplus_{n}(b+c+a) = \oplus_{n}(a+b+c)}\).
Ostatnio zmieniony 2 cze 2023, o 17:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ