Matematyka.pl

Mam nadzieję, że wstawiam posta w odpowiednim miejscu. Nie mam pomysłu na zadanie, które brzmi: Podaj przykład ciała czteroelementowego (tzw. zbudować tabelki dwóch działań spełniających odpowiednie warunki), czy ktoś ma jakiś pomysł?
Z góry dziękuje za odpowiedzi.

Wiadomo z teorii, że dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ n \in \NN}\) istnieje jedyne z dokładnością do izomorfizmu ciało mocy \(\displaystyle{ p^n}\) i jest ono charakterystyki \(\displaystyle{ p}\). Weźmy więc ciało czteroelementowe \(\displaystyle{ K = \{ 0, 1, a, b \}}\). Jest ono charakterystyki \(\displaystyle{ 2}\), czyli jego grupa addytywna jest izomorficzna z \(\displaystyle{ \ZZ_2 \oplus \ZZ_2}\), co daje tabelkę działania \(\displaystyle{ +}\). Z kolei grupa multiplikatywna \(\displaystyle{ K^* = \{ 1, a, b \}}\) jest trzyelementowa, zatem izomorficzna z \(\displaystyle{ \ZZ_3}\), a stąd \(\displaystyle{ a^0 = 1, a^1 = a, a^2 = b, a^3 = 1}\), czyli \(\displaystyle{ K = \{ 0, 1, a, a^2 \}}\). Tabelka mnożenia na tym zbiorze jest oczywista, bo wynika wprost z reguł:

\(\displaystyle{ \bullet \ 0 \cdot a^i = a^i \cdot 0 = 0}\),
\(\displaystyle{ \bullet \ a^i \cdot a^j = a^{i+j}}\),
\(\displaystyle{ \bullet \ a^3 = 1}\),

więc np. \(\displaystyle{ a^2 \cdot a^2 = a^4 = a}\).