Charakterystyka ciała nazywamy rzad 1 (elementu neutralnego mnozenia) w grupie addytywnej.
Pokaz, ze charakterystyka ciala skonczonego jest liczba pierwsza.
Z gory dziekuje za pomoc.
Charakterystyka ciala skonczonego
-
MuFaBartek
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 21 paź 2008, o 18:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Charakterystyka ciala skonczonego
Ponieważ ciało ma co najmniej 2 elementy i \(\displaystyle{ 0\neq 1}\), to charakterystyka nie może być równa 1.
Ponieważ ciało K jest skończone, to charakterystyka nie może być równa 0, bo na pewno \(\displaystyle{ |K|\cdot 1=0}\).
Załóżmy nie wprost, że charakterystyka jest liczbą złożoną n. Wtedy istnieją liczby k, l takie, że \(\displaystyle{ n=kl}\) oraz \(\displaystyle{ 1<k\leq l<n}\). Mamy wówczas
\(\displaystyle{ 0=n\cdot 1=kl\cdot 1=(k\cdot 1)\cdot(l\cdot 1)}\),
a ponieważ to jest ciało, to stąd mamy
\(\displaystyle{ (k\cdot 1)=0\ \vee\ (l\cdot 1)=0}\)
co jest niemożliwe, bo n było najmniejszą taką liczbą.
Pozdrawiam.
Ponieważ ciało K jest skończone, to charakterystyka nie może być równa 0, bo na pewno \(\displaystyle{ |K|\cdot 1=0}\).
Załóżmy nie wprost, że charakterystyka jest liczbą złożoną n. Wtedy istnieją liczby k, l takie, że \(\displaystyle{ n=kl}\) oraz \(\displaystyle{ 1<k\leq l<n}\). Mamy wówczas
\(\displaystyle{ 0=n\cdot 1=kl\cdot 1=(k\cdot 1)\cdot(l\cdot 1)}\),
a ponieważ to jest ciało, to stąd mamy
\(\displaystyle{ (k\cdot 1)=0\ \vee\ (l\cdot 1)=0}\)
co jest niemożliwe, bo n było najmniejszą taką liczbą.
Pozdrawiam.