szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 30 paź 2008, o 23:22 
Użytkownik

Posty: 760
Lokalizacja: z Lublina
Dla dowolnej liczby naturalnej n określić liczbę rozwiązań równania \sqrt{x} + \sqrt{y}=n w liczbach naturalnych x, y.


Zadanie pochodzi z Koła dla Olimpijczyków UMCS i mam nadzieję, że nie pojawiło się jeszcze na forum.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 paź 2008, o 23:46 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
można udowodnić, ze zarówno x jak i y są kwadraami liczb całkowitych (czyli rozwiazań jest dokładnie n)
Po przekształceniu
x = n^2 - 2\cdot n \cdot \sqrt{y}  +  y
I to juz dowodzi temu że y musi być kwadratem l. naturalnej (podobnie się robi dla x)
jeśli x \in \mathbb{Z} i \sqrt{x} \in \mathbb{Q} to musi być x = k^2 dla pewnego k \in \mathbb{Z} gdyż jeśli \sqrt{x} = \frac{p}{q} to x = \frac{p^2}{q^2}, bez straty ogólności możemy założyć, że NWD(p,q) = 1, ale wtedy q^2 \ | \ p^2 czyli q \ | \ p co jest możliwe tylko gdy q = 1 zatem x = p^2 gdzie p \in \mathbb{Z}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 maja 2019, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 1107
To zadanie z 35 OM - II - 1: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/835
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Teoria liczb] Zadania z potęgami liczby 11 - zadanie 2  zbystura  5
 [Teoria liczb] Równanie w naturalnych z Pawłowskiego  Linka  7
 [Kombinatoryka][Teoria liczb] Wzór na liczbę dzielników  neworder  3
 [Teoria liczb] Ciekawe zadanko z sumą cyfr  Anonymous  1
 [Teoria liczb] Suma odwrotności dzielników liczby naturalnej  Sun Tsu  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl