szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2005, o 22:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 172
Lokalizacja: Rzeszów
Jak udowodnić ,że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych równa się sumie długości średnic koła wpisanego w trójkąt i koła opisanego na tym trójkącie? :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2005, o 23:00 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Jelenia Góra
a,b - przyprostokątne c-przeciwp. R,r-wiadomo
Skoro trójkąt jest prostokątny, to oczywiście c (przeciwprostokątna)=2R.
Wpisz w trójkąt okrąg i poprowadź promienie r prostopadłe do przyprostokątnych.
Punkty styku promieni r (prostopadłych do przyprostokątnych) z przyprostokątnymi wyznaczają odcinki o długościach r i b-r (dzielą tak przyprostokątną b) i odicinki o długościach a-r i r (dzielą tak przyprostokątną a). Jak wykonasz rysunek, z łatwością to zauważysz(udowodnisz).
Wiemy że odcinki styczne do koła wychodzące z jednego punktu mają takie same długości. Teraz widać, że a-r ma taką samą długość jak część przeciwprostokątnej), a b-r ma taką samą długość jak druga część przeciwprostokątnej.
czyli a-r+b-r=c=2R dodajemy stronami 2r
a+b=2R+2r
Naprawdę, wykonaj rysunek, a wszystko zobaczysz, opisałbym to krócej, ale nie chciało mi się robić rysunku
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2005, o 23:01 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2970
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Niech a,b - przyprostokątne, c - przeciwprostokątna.

Niech a=x+y, b=y+z, c=z+x.

2r=2x=a+b-c,
2R=c, dodając to stronami dostajemy:

2(r+R)=a+b, co kończy dowód.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód na sumę kątów w trójkącie  metamatyk  3
 Dowód na twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa  Klinowski Irocent  1
 Jaki to trójkąt? Podane długości boków  iwcia100  3
 Trójkąt - Oblicz długość trzeciego boku  Tama  3
 Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokąt  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl