szukanie zaawansowane
 [ Posty: 970 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1 ... 61, 62, 63, 64, 65
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 22 kwi 2019, o 22:44 
Użytkownik

Posty: 364
Lokalizacja: Warszawa
To chyba faktycznie na rozruszanie, bo jestem frajerem z nierówności i umiem ją zrobić.

Mamy:

1 = \sum_{i=1}^n\frac{x_i}{\sum_{j=1}^nx_j} < \sum_{i=1}^n\frac{x_i}{x_i+x_{i+1}}

(na pierwszy rzut oka powinno być tylko \leq, ale w rzeczywistości z warunku n>2 oraz 0<x_i+x_{i+1} dla każdego i wynika, że jest <). To daje pierwszą nierówność. Dla dowodu drugiej wystarczy zauważyć dwa fakty. Po pierwsze można tak samo jak wyżej dowieść, że

1 < \sum_{i=1}^n\frac{x_{i+1}}{x_i+x_{i+1}}

Po drugie

n = \left(\sum_{i=1}^n \frac{x_i}{x_i+x_{i+1}}\right) + \left(\sum_{i=1}^n\frac{x_{i+1}}{x_i+x_{i+1}}\right)

Zatem ostatecznie

\sum_{i=1}^n \frac{x_i}{x_i+x_{i+1}} = n - \sum_{i=1}^n\frac{x_{i+1}}{x_i+x_{i+1}} < n-1

Jak już wspomniałem, nie znam się na nierównościach olimpijskich, więc proszę by ktoś z użytkowników, którzy są tutaj aktywni, umieścił kolejne zadanie.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 kwi 2019, o 23:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13880
Lokalizacja: Wrocław
O to właśnie chodziło (nie znam innego rozwiązania). To może trudniejsze:
niech x,y,z\in \RR spełniają warunek x^4+y^4+z^4+xyz=4. Proszę wykazać, że
x\le 2 oraz \sqrt{2-x}\ge \frac{y+z}{2}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 kwi 2019, o 21:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 192
bardzo niezobowiązująco:    
Góra
Kobieta
PostNapisane: 29 kwi 2019, o 13:30 
Użytkownik

Posty: 1425
Ukryta treść:    

Dla 4c>3b>2a>0 udowodnij

2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\ge 3
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 kwi 2019, o 15:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13880
Lokalizacja: Wrocław
Ukryta treść:    


Jak macie jakiś mniej rachunkowy dowód, to tradycyjnie zachęcam do podzielenia się nim.
Nowe:
niech x_1, x_2, \ldots x_n\ge 0.
Proszę udowodnić, że
\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{1+x_1^2+\ldots+x_i^2}<\sqrt{n}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 maja 2019, o 11:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13880
Lokalizacja: Wrocław
Znowu stanęło, mimo że zadanie proste (a może właśnie dlatego nikomu się nie chciało pisać; jak teraz patrzę, to nie jestem też pewien, czy nie widziałem go już kiedyś w tym dziale :oops:).
Ukryta treść:    


Nowe zadanie (mam nadzieję, że jeszcze nie było);
dana jest liczba całkowita dodatnia k. Proszę wyznaczyć wszystkie takie liczby całkowite dodatnie n, że dla dowolnych liczb rzeczywistych nieujemnych x_1, \ldots x_n spełniających warunek x_1+x_2+\ldots+x_n=n zachodzi nierówność
kn+ \sum_{i=1}^{n}x_i^3\le n+k \sum_{i=1}^{n}x_i^2
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 maja 2019, o 13:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 192
Ukryta treść:    

Gdy ktoś się zgodzi (żeby nie było samowładzy) wrzucę kolejny numer.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 maja 2019, o 13:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13880
Lokalizacja: Wrocław
Bardzo elegancko! To jest zadanie ze Zwardonia 2004, pierwszy mecz matematyczny, zadanie 5.
https://om.mimuw.edu.pl/static/app_main/camps/zwardon2004r.pdf

Zadajesz.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 maja 2019, o 14:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 192
Dana jest liczba n\in Z_+ zaś dowolne liczby x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n\in R_+ spełniają warunek x_1+\ldots+x_n=y_1+\ldots+y_n=1. Wykaż, że
|x_1-y_1|+\ldots+|x_n-y_n|\leq 2-\underset{1\leq i\leq n}{\min} \;\dfrac{x_i}{y_i}-\underset{1\leq i\leq n}{\min} \;\dfrac{y_i}{x_i}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 cze 2019, o 12:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 192
Zadanie pochodzi z Junior Balkan MO 2014 Shortlist - zaadanie A9. Na innym znanym forum nie ma rozwiązania. Być może komuś uda się znaleźć w jakimś innym miejscu to zadanie z rozwiązaniem (mi się nie udało). Jeśli nie, to za dwa dni zmieniam zadanie.

-- 4 cze 2019, o 12:27 --

n\in Z_+ \wedge n\ge2\wedge a_1,a_2,...,a_n\in R. Jeśli zachodzi nierówność b<\frac{1}{n-1}\cdot\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2-\sum_{i=1}^n a_i^2, to wykaż, że dla każdych całkowitych 1\le  k<l\le n mamy b<2a_ka_l.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 970 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1 ... 61, 62, 63, 64, 65


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Planimetria][Nierówności] Wykazanie nierówności  darek20  0
 [Nierówności] Wykazać nierówność - zadanie 23  mariusz198787  3
 [Nierówności] Najmniejsza wartość sumy  kluczyk  3
 [Nierówności] Dowód nierówności.  Tomasz Rużycki  6
 [Nierówności] Bardzo ciekawa nierówność  mol_ksiazkowy  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl