szukanie zaawansowane
 [ Posty: 970 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1 ... 61, 62, 63, 64, 65  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 27 mar 2019, o 04:05 
Moderator

Posty: 2088
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
W nieujemnych a  \ge b  \ge c takich, że a + b + c = 1 wykazać:
a^{4}\left( b - c \right) + b^{4}\left( c - a\right) + c^{4}\left( a - b \right)  \ge a\left( b - c\right)^{3} + b\left( c - a \right)^{3} + c\left( a - b\right)^{3}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Kobieta
PostNapisane: 27 mar 2019, o 10:28 
Użytkownik

Posty: 1425
Już po OMJ, a skoro za poprzednie się nikt z uczestników tu nie wziął, to winy za niewielką popularność łańcuszka nie ma co zrzucać na dużą trudność zadań.
Ukryta treść:    

Dla a,b,c>0 udowodnij \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{2abc}{a^3+b^3+c^3}\ge\frac{11}{3}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 mar 2019, o 04:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Ukryta treść:    


Nowe zadanie:
niech liczby a_0, \ a_1, \ldots a_n z przedziału \left( 0, \frac \pi 2\right) spełniają warunek \sum_{i=0}^{n}\tg\left( a_i-\frac \pi 4\right)  \ge n-1.
Proszę wykazać, że \prod_{i=0}^{n} \tg a_i\ge n^{n+1}.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 30 mar 2019, o 10:53 
Użytkownik

Posty: 1425
Do poprzedniego:    
Bieżące:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 mar 2019, o 11:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Świetnie. Jakby ktoś był zainteresowany, jest to zadanie 3. z USAMO 1998, rozwiązanie wzorcowe (zapewne) można zobaczyć tutaj.
Zadajesz (chyba że nie chcesz), bosa_Nike.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 mar 2019, o 11:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Pozwolę sobie wkleić podobne rozwiązanie tego z tangensem, bo zacząłem pisać wcześniej i miałem to dziś umieścić ;-)
To z tangensem:    

I nawet miałem przygotowane następne, więc się wetnę:

Pokaż, że dla dowolnych a, b, c > 0 zachodzi nierówność
\sqrt{a^2-ab+b^2} + \sqrt{b^2-bc+c^2} \ge \sqrt{a^2+ac+c^2}.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 30 mar 2019, o 12:07 
Użytkownik

Posty: 1425
No nie, to jest nieludzkie. Nie dość, że się pod koniec redagowania odpowiedzi zorientowałam, że rozwiązałam inne zadanie, musiałam przerobić całe rozwiązanie i wpisać je na nowo, to jeszcze Sylwek się przyznaje, że miał, ale nie wrzucił. :o Proszę mi się na przyszłość pospieszyć, bo ja mam okna do mycia. :wink:
Bieżące:    

Dla a,b,c>0, takich że a+b+c=3 udowodnij

\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{3}-1\right)(abc-1)\ge (1-a)(1-b)(1-c)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 mar 2019, o 15:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Ukryta treść:    

Prosiłbym, żeby ktoś to sprawdził, bo rzadko coś mi wychodzi tak low effort.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 30 mar 2019, o 16:57 
Użytkownik

Posty: 1425
Wg mnie rozwiązanie jest prawidłowe i bardzo fajne.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 mar 2019, o 17:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Dzięki za sprawdzenie. Wrzucam nowe zadanie:
niech n\in \NN^+ będzie ustalone. Proszę znaleźć wszystkie takie m\in \NN^+, że nierówność \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}\ge a^m+b^m zachodzi dla wszystkich dodatnich liczb a,b spełniających warunek a+b=2.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 mar 2019, o 14:34 
Użytkownik

Posty: 158
Lokalizacja: Zamość
Co do zadania Sylwka:
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 mar 2019, o 15:05 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Oboje bardzo pięknie!

Zachęcam powymyślać podobne nierówności i ciachać kąt 60^o, 75^o, 90^o, 105^o, 120^o, 135^o, 150^o, 165^o czy 180^o na części mające 30^o, 45^o, 60^o, 90^o, 120^o, 135^o czy 150^o.

Lub inne, mniej przyjemne dla oka wartości.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 13 kwi 2019, o 22:35 
Użytkownik

Posty: 1425
Finał OM przeszedł bez echa, tutaj też wiele się już nie zdarzy - może warto pomyśleć o zmianie zadania.

Nierówność zamieszczona przez Premislava to zadanie 2. z drugiego dnia zawodów OM z Bułgarii z 2008 roku - do znalezienia w dziale Contests na aops. Ja porzuciłam ten problem po zrobieniu ok. połowy z trzypunktowego planu alternatywnego rozwiązania, odstręczona rozmiarem i bez przekonania o skuteczności pomysłu.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2019, o 01:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Mnie się nie chce pisać rozwiązania, wiec po prostu zmienię nierówność.

Nowa (jak już ten wątek poruszyłaś; no cóż, leniwy jestem):
niech liczby dodatnie a_0, a_1\ldots a_n będą takie, że a_0\in \ZZ oraz a_i\le a_{i-1}+1 dla i\in\left\{ 1,2\ldots n\right\}. Proszę znaleźć jak najmniejszą stałą dodatnią C, dla której nierówność
n\le Ca_0 \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i}
zachodzi dla dowolnych a_0, \ldots a_n spełniających powyższe warunki.

-- 20 kwi 2019, o 14:43 --

Jezuu, nie patrzyłem przez tydzień na ten wątek i teraz widzę, że zgubiłem istotne założenie, że
\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\le 1. :( Dopiszę jutro, bo teraz pies z kulawą nogą tego nie zauważy.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 kwi 2019, o 13:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Bardzo przepraszam, nieuważnie przepisywałem treść, zgubiłem założenie o \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\le 1 (bez tego oczywiście nie działa!). Naprawdę mi wstyd. Ale i tak myślę, że wrzucanie tego zadania tutaj nie miało większego sensu (bo trochę za łatwe, a jeszcze zepsułem treść).
https://om.mimuw.edu.pl/static/app_main ... m70_3r.pdf
Zadanie piąte (bardzo łatwo poprawić stałą na 3, a znając trochę analizy na e, natomiast to, co w tym było dla mnie najzabawniejsze, to że gubiąc pewien warunek, myślałem po chwili, że poprawiłem stałą na 2, a otóż nie, gdyż aż tak dobrze się nie da). Swoją drogą trochę słabo, że nie dość, że idzie na samej AM-HM bez żadnego pomysłu, to jeszcze forma nierówności narzuca taką drogę.

Może teraz coś takiego na rozruszanie:
niech n>2, \ x_1, x_2, \ldots x_n\ge 0 oraz x_{i}+x_{i+1}>0 dla i=1,2\ldots n, przy czym przyjmujemy, że x_{n+1}=x_1. Proszę udowodnić, że
1< \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{x_{i}+x_{i+1}}<n-1
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 970 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1 ... 61, 62, 63, 64, 65  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Nierówności] Urocza nierówność, wykaż  mol_ksiazkowy  3
 [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb  jerzozwierz  78
 [Nierówności] Nierówność z Pawłowskiego  Lolek271  6
 [Nierówności] wykazanie nierówności II - zadanie 2  darek20  1
 [Nierówności] Nierówność z pierwiastkami - zadanie 2  Piotr Rutkowski  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl