szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 24 sie 2008, o 12:45 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Witam :)

Wewnątrz sześcianu o krawędzi 1 obrano 1997 punktów. Udowodnij, że co najmniej 10 spośród nich znajduje się wewnątrz pewnej kuli o promieniu 0,15.

Robiłem jakoś tak:
V_{sz} = 1^{3} = 1
Teraz dzielimy objętość sześcianu na 1997, aby dowiedzieć się ile przestrzeni znajduje się co najmniej między sąsiednimi punktami
V_{p} = \frac{1}{1997} \approx 0,0005
Objętość ta, to objętość małego sześcianika. Wyliczam jego krawędź:
a_{p} =\sqrt[3]{0,0005} \approx 0,079
Objętość kuli o którym mówi treść:
V_{k} = \frac{4}{3} \pi  (0,15)^{3} \approx 0,014
10 V_{p} = 0,005
V_{k} > V_{p}
Czyli źle... bo powinno być odwrotnie :/

Jest jakiś inny, "elegancki" sposób na tego typu zadania?

Z góry dziękuję za odpowiedzi.
Góra
PostNapisane: 24 sie 2008, o 13:16 
Użytkownik
Kulę można opisać łatwo na sześcianie, w którym R=\frac{a\sqrt{3}}{2}=0,15, stąd taki sześcian musi mieć bok
a=\frac{0,3}{\sqrt{3}}=0,1 \sqrt{3}   \approx  0,173.
Jak bok będzie mniejszy, to będzie dobrze, więc weźmy mały sześcian o długości krawędzi równej \frac{1}{6} .
W dużym sześcianie zmieści się dokładnie 216 takich sześcianików. Korzystając z zasady szufladkowej Dirichleta otrzymujemy tezę, bo 1997>216\cdot 9.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Punkty przecięcia prostych - zadanie 4  mdcbnmw2000  2
 Punkty na płaszczyznie  mustangos  4
 Prosta przecina punkty  Kwiatekjakis  0
 Dwie proste równoległe i ich punkty  Conny__  1
 punkty na płaszczyźnie - zadanie 4  celia11  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl