szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
PostNapisane: 22 sie 2008, o 15:47 
Użytkownik
[UWAGA] To zestawienie jest już zamknięte. W następnej wiadomości znajduje się aktualna lista nierozwiązanych problemów.

Witam.

Przez długie lata działalności forum, często pojawiały się problemy trudne (bądź łatwe ;) ), które przez swoją złożoność zostały bez rozwiązania i po pewnym czasie zagubiły się w gąszczu postów. Celem tego tematu jest odświeżenie tych problemów i zachęcenie wszystkich użytkowników do zmierzenia się z nimi. Po kliknięciu na pogrubioną nazwę wątku, nastąpi przekierowanie do odpowiedniego tematu, tam można się zapoznać z dyskusją (o ile była) na temat problemu i ewentualnymi wskazówkami bądź próbami rozwiązania. Tam też można włączyć się do dyskusji na temat problemu, gdyż ten temat ma tylko funkcję informacyjną.

Problemy ułożone są chronologicznie (od najstarszego). Z tematów zawierających kilka zadań, w których niektóre zostały rozwiązane, zacytowałem tylko zadania nierozwiązane. Stan na dzień 22.08.2008, do tematu o numerze 80440 - nowsze tematy nie będą póki co dodawane na tą listę. Przy rozwiązanych problemach będę umieszczał napis: Problem rozwiązany przez użytkownika [nick_tego_który_rozwiązał] (przykłady poniżej ;) )

Wielkie podziękowania dla kolegi mola_książkowego, który pomógł mi zbierać linki do trudniejszych problemów.

// Statystyki rozwiązań pojedynczych problemów (czyli nie liczę mixów i innych tematów, do których jest sam odnośnik) wedle widzimisię prowadzącego temat ;) :
* 24.08, godzina 15:30 - zostało rozwiązanych 17 z pośród 54 problemów, szybko idzie ;)
* 24.08, godzina 23:00 - 20/54
* 25.08, godzina 23:15 - 24/54
* 26.08, godzina 23:25 - 28/54 - w ekspresowym tempie połowa zadań się poddała :)
* 27.08, godzina 21:08 - 30/54
* 28.08, godzina 16:00 - 31/54
* 29.08, godzina 00:30 - 33/54
* 29.08, godzina 13:00 - 35/54
* 05.09, godzina 14:40 - 37/54
* 07.09, godzina 10:00 - 38/54
* 09.09, godzina 07:00 - 39/54
* 15.09, godzina 16:00 - 40/54 - ostatnich 14 nie(w pełni)rozwiązanych problemów "wylatuje" z tej listy z pierwszego postu i pojawi się w nowym zestawieniu :)
//

Nie przedłużając:




  1. Interesująca nierówność
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika chris139


  2. Szukany ciąg
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika przemk20


  3. Zadanie o czworokącie
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Menda


  4. "Kupowanie" ciągu Fibonacciego
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy


  5. Znajdź takie piątki liczb pierwszych
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika alchemik


  6. Konik na szesnastopolowej szachownicy
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  7. Wykaż jak najprościej...
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Lider_M


  8. Zadanie nie-"podobne" do innych...
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkowników gryzzly92 i Sylwek


  9. Nierówność trygonometryczna
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Wasilewski


  10. Szukane wielomiany
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika robin5hood


  11. Paskudne maksimum
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  12. Znajdz wszystkie takie funkcje rzeczywiste, że:
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkowników polskimisiek i andkom (pośrednio ;) )


  13. Intrygujacy ciąg - udowodnić zbieżność i obliczyć granicę
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkowników robin5hood i limes123


  14. Rodzina podzbiorów
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy


  15. Mocnia
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkowników limes123 i Sylwek


  16. Pary
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkowników Sylwek i mol_ksiazkowy


  17. Okresowość
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika max


  18. Funkcja
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy


  19. Trzy zadania
    Cytuj:
    3. Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  20. Szyfry
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  21. Liczba podzielna przez każde cykliczne przestawienie cyfr
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy


  22. Puzle
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  23. Przyrównanie
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  24. Pseudosrodki
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  25. Rozwiązać równanie w liczbach naturalnych
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  26. Klopotliwy wielomian
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy


  27. Znajdź liczby, nierówność funkcyjna
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika andkom


  28. Perfidna tożsamość
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  29. Największa liczba rzeczywista
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  30. Środkowe a obwód
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  31. Liczba szczęśliwa
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy


  32. Stała suma
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy


  33. Reszta
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy


  34. 2 równania funkcyjne
    Cytuj:
    1. Problem rozwiązany przez użytkownika andkom


  35. Trójkąty i rozkład
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  36. Funkcja i wielomian
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  37. Styczne + czworokąt w okręgu
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika limes123


  38. Równanie Hurwitza
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkowników Sylwek i mol_ksiazkowy


  39. Kilka zadań
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika limes123


  40. 2 ciekawe zadania z geometrii
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika limes123





Powodzenia!
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
PostNapisane: 16 wrz 2008, o 18:00 
Użytkownik
Witam.

Chciałbym zaprezentować drugie (na razie definitywnie ostatnie) zestawienie nierozwiązanych problemów.

Na wstępie kolejne ogromne podziękowania dla mola_książkowego, który przejrzał dużą część bardziej interesujących działów na forum w poszukiwaniu trudnych problemów (teraz można powiedzieć, że w przybliżeniu wszystkie ciekawe problemy zostały przez niego "wyłowione"). Lista się składa na chwilę obecną z 69 problemów w 66 tematach, które pojawią się po raz pierwszy w zestawieniu, a także 14 problemów w 13 tematach przeniesionych tu z pierwszego posta, które nie doczekały się przez prawie cały miesiąc pełnego rozwiązania (co świadczy, że nie są one zbyt proste :) ) - te ostatnie mają numery od 67. (czyli są poza kolejnością chronologiczną). Tematy zawierające najwięcej nierozwiązanych problemów umieściłem na samym końcu listy nie cytując ich treści.

Stan na dzień 16.09.2008, do tematu o numerze 82797. O ciekawych nierozwiązanych problemach z tego bądź innych działów, które nie zostały umieszczone na poniższej liście, proszę informować mnie przez: Obrazek. Przy rozwiązanych problemach będę umieszczał napis:
Problem rozwiązany przez użytkownika [nick_tego_który_rozwiązał]

##
Statystyki rozwiązań pojedynczych problemów (czyli nie liczę mixów i innych tematów, do których jest sam odnośnik) wedle widzimisię prowadzącego temat ;) :
* 16.09, godzina 18.00 - chwalebne pojawienie się nowego zestawienia :D , 0/69 + 0/14 ;)
* 17.09, godzina 00:00 - 23/69 + 0/14 - w 6h poszło 23 problemy, świetny start :D
* 18.09, godzina 21:30 - 27/69 + 0/14
* 29.09, godzina 20:00 - 32/69 + 0/14
* 30.09, godzina 00:15 - 34/69 + 0/14
* 05.10, godzina 01:00 - 35/69 + 0/14
* 06.10, godzina 22:00 - 37/69 + 1/14
* 12.10, godzina 16:00 - 38/69 + 1/14
* 29.10, godzina 20:00 - 41/69 + 1/14
* 03.11, godzina 21:00 - 41/69 + 2/14
* 04.11, godzina 17:30 - 42/69 + 2/14
* 23.11, godzina 14:00 - 45/69 + 2/14
* 24.11, godzina 22:30 - 47/69 + 2/14
* 07.12, godzina 22:20 - 49/69 + 2/14
* 13.12, godzina 21:00 - 50/69 + 2/14
* 16.12, godzina 16:00 - 51/69 + 2/14
* 30.12, godzina 16:00 - 52/69 + 2/14
* 04.12, godzina 16:30 - 52/69 + 3/14
* 25.01, godzina 20:00 - 53/69 + 3/14
* 27.01, godzina 22:00 - 54/69 + 3/14
* 28.01, godzina 23:00 - 55/69 + 3/14
* 08.02, godzina 13:30 - 56/69 + 3/14
* 03.03, godzina 20:00 - 57/69 + 3/14
powolutku do przodu ;)
##

Nie przedłużając:



  1. Sumy potęg dwójki
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  2. Szukany wielomian
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika luka52


  3. Zadanie o czwarokącie
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika limes123


  4. Suma kwadratów pól
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  5. Osie
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy


  6. Planety
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  7. Przecięcia
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika limes123


  8. Liczba trójkątna
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mdz


  9. Wybór punktów
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika limes123


  10. Szukany wielomian
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  11. Udowodnij rowność z sumami
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Wasilewski


  12. Sprytne przejście
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  13. Podzielność wielomianów, współczynniki całkowite
    Cytuj:
    1. Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek

    2. Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek

    3. Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  14. Punkty na okręgu
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika xiikzodz


  15. Kółka w kółku matematycznym
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkowników exupery i Sylwek


  16. Kombinacja kosinusów
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy


  17. Dwusieczna a boki
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika limes123


  18. Wykaż istnienie trzech liczb
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika limes123


  19. Szukamy okregu
    Cytuj:
    Dane mamy, w przestrzeni - dwie przecinające się proste a i b. Rozważamy wszystkie możliwe pary płaszczyzn \alpha , \ \beta prostopadłe do siebie i t. ze a \subset \alpha \ \  b \subset \beta. Wykaż ze istnieje taki okrąg, że przez każdy jego punkt przechodzi prosta \alpha \cap \beta dla pewnych \alpha \ \beta.


  20. Wykaż istnienie punktu
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika luka52


  21. Turniej
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  22. Mantysa
    Cytuj:
    Trzeba dowieść, że jeśli liczba rzeczywista x jest postaci (*), to ciąg a_n (**), nie jest zbieżny do zera...a czy może mieć inną granicę? Jeśli tak, to zbadać jaką:
    (*) x=\frac{k}{2^m},
    (**) a_n=x2^n- [x2^n]


  23. Rodzina
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika przemk20


  24. Ciąg liczb dodatnich
    Cytuj:
    Wykaż fakt: istnieje stała \alpha o tej własności, że dla każdego ciągu x_1,\ldots,x_n liczb dodatnich, jeśli dla k>0 ilość wyrazów x_j nie mniejszych od k, pomnożona przez k jest nie większa od m to :
    \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} log \ x_j \leq \alpha


  25. Prostopadłość przekątnych
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy


  26. Trójkąt i okrąg opisany
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika limes123


  27. Kolorowanie boków i przekątnych
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika xiikzodz


  28. Liczba nierozkładalna
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkowników przemk20 i andkom


  29. Nierówność z funkcją
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Dumel


  30. Sfera na czworościanie
    Cytuj:
    Dany jest pewien czworościan c, na którym opisano sferę s. \alpha, \beta, \gamma, \delta są płaszczyznami stycznymi do tejże s, w odpowiednich wierzchołkach c , tj punktach A, B, C, D, przy czym \alpha \cap \beta=p, i \gamma \cap \delta=q. Wykaż, że jeśli proste p i CD nie są rozłączne, to q i AB są współpłaszczyznowe.


  31. Iteracje i dzielenie wielomianów
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika przemk20


  32. Równanie z funkcjami
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Wasilewski


  33. Liczba Wiliamsa
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Wasilewski


  34. Własność z najmniejszą wielokrotnością
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy


  35. Punkty w kwadracie
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika robin5hood


  36. Kwadrat
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika xiikzodz


  37. Dwie funkcje
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sir George


  38. Suma potęg
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkowników Sylwek i mol_ksiazkowy


  39. Suma szeregu
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkowników przemk20 i Sir George


  40. Wykazać, że funkcja ma co najmniej n miejsc zerowych
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Wasilewski


  41. Oblicz granicę
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika luka52


  42. Układ równań
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy


  43. W czworokącie wpukłym ABCD przekątne AC i BD
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  44. Granica ciągu
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika robin5hood


  45. Nierówność w przestrzeni
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy


  46. Dwusieczna a trójkąt prostokątny
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy


  47. Kresy sumy długości boków
    Cytuj:
    Wyznacz oba kresy, tj. górny (M) i dolny (m) wyrażenia W, będącego sumą długości boków i przekątnych czworokąta wypukłego na płaszczyźnie i o polu jednostkowym. Kiedy (o ile są) są one realizowane. Podaj wszystkie stosowne rachunki i (lub) ewentualne uogólnienie.


  48. Funkcja okresowa
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika andkom


  49. Styczne - dowód
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika binaj


  50. Czworokąt- wykazanie nierówności
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika mp2


  51. Trójkąt, punkt określony równością
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkowników Wasilewski i Sylwek


  52. Granica z symbolem Newtona
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Wasilewski


  53. Ciąg o wahaniu skończonym
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Wasilewski


  54. Graf o 17 wierzchołkach
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  55. Sześciokąt i koła
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkowników limes123 i Sylwek


  56. Trzy zadania
    Cytuj:
    1.Środki krawędzi czworościanu leżą na jednej sferze. Wyznacz maksimum objętości tego czworościanu.

    3.Niech ABC będzie trójkątem ostrokątnym, zaś M, N i P - rzutami prostokątnymi środka ciężkości tego trójkąta na boki BC, CA, AB. Udowodnij, że \frac{4}{27} < \frac{S(MNP)}{S(ABC)}  \leqslant  \frac{1}{4} Gdzie S(XYZ) oznacza oczywiście pole trójkąta XYZ.


  57. Zbiór części ułamkowych gęsty w (0, 1)
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika ZetaX


  58. Równość w trójkącie
    Cytuj:
    W trójkącie ABC, K, L, M, są spodkami wysokości odpowiednio na przeciwko wierzchołków A, B, C, wykaż, że;

    \frac{|AM||BK|}{|AK|}+\frac{|CL||BK|}{|BL|}+\frac{|AM||CL|}{|CM|}=h_1+h_2+h_3-2(R+r)

    gdzie R, r są odpowiednio promieniami okręgów opisanego i wpisanego


  59. Wykazać tożsamość
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika ironleaf


  60. Równanie wektorowe dla trójkąta
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  61. Równanie w zbiorze liczb naturalnych
    Cytuj:
    Rozwiąż równanie w zbiorze liczb naturalnych
    a^x+\left(2a+1\right)^y=\left(a+1\right)^z dla danego a\in N - \{1\}$ i $x,y,z\in N\cup\{0\}


  62. Twierdzenie Gegenbauera
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Maciej87


  63. Ciekawa kombinatoryka
    Cytuj:
    1. Dwudziestu pięciu hobbitów podzieliło działkę 5x5 na działki 1x1. Zaden hobbit nie chce miec wroga za sasiada (ani nawet zeby jego dzialka stykala sie wierzcholkami z sasiadem). Wiadomo ze zaden nie poklocil sie z wiecej niz trzema innymi hobbitami. Udowodnic, ze mozna ich tak rozstawic, zeby kazdy byl otoczony tylko przyjaciolmi. (wsk. -> udowodnic, ze jedli sasiaduja ze soba jacys wrogowie to mozna zminiejszyc liczbe takich sasiadow).


  64. Miejsce geometryczne
    Cytuj:
    Miejsce geometryczne zbioru punktów X z wnętrza trójkąta ostrokątnego ABC określane jest równością: AB\cdot BC\cdot CA
\ =\
XA\cdot AB\cdot BX+XB\cdot BC\cdot CX+XC\cdot CA \cdot AX

    Wyznaczyć X


  65. Nierówność podłogi
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Negative_3


  66. Ustawienie klocków
    Cytuj:
    Mamy \frac{n(n+1)}{2} klocków z liczbami: jeden klocek z "1", dwa klocki z "2", ..., n klocków z "n".

    Dla jakich n można te klocki tak ustawić by
    między każdymi dwoma n-ami był jeden klocek,
    między kazdymi dwoma klockami z n-1 dwa inne klocki, itd.
    wreszcie między klockami z dwójkami n-1 klocków ??






    ----------------------------------------------------------------------------
    Problemy, które pomimo długiego oczekiwania w pierwszym poście tego tematu, nie doczekały się pełnego rozwiązania:
    ----------------------------------------------------------------------------

  67. Numerowanie
    Cytuj:
    Problem połowicznie rozwiązany przez użytkownika Sylwek
    Mamy 2007-kąt foremny. Na każdym wierzchołku jest punkt i na każdym środku boku też jest punkt, (czyli w sumie 4014 punktów). Ponumerować te punkty liczbami naturalnymi od 1 do 4014 tak, żeby na każdym boku (tzn. wierzchołek, środek boku, drugi wierzchołek) suma liczb była wszędzie taka sama. Czy takie ponumerowanie jest możliwe dla każdego n-kąta foremnego, czy tylko dla n = 2007?


  68. Trzy zadania
    Cytuj:
    2. Znajdź wszystkie całkowite x,y, takie że liczba \frac{x^2+y^2}{xy-1} również jest liczbą całkowitą.


  69. Szesciany
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  70. Niestandardowa granica
    Cytuj:
    Udowodnij, że:
    \lim_{n\to \infty} \{\{3^{n}\}\}=+\infty, gdzie:
    \{\{x\}\} to suma cyfr liczby x.


  71. Istnienie nieskończonego zbioru
    Cytuj:
    Czy istnieje nieskończony zbiór liczb naturalnych, taki, że suma elementów każdego jego skończonego podzbioru jest potęgą liczby naturalnej?


  72. Suma potęg 10
    Cytuj:
    Czy suma dwóch lub więcej potęg liczby 10 o wykładnikach naturalnych które się nie powtarzają może być parzystą potęgą liczby naturalnej?


  73. Odległości punktu od boków - wykaż
    Cytuj:
    Problem rozwiązany przez użytkownika Wasilewski


  74. 2 równania funkcyjne
    Cytuj:
    2)Znajdź funkcje f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} takie, że:
    f((3 + \sqrt {2})x) + f((1 + 3\sqrt {2})x) = 2f((2 + 2\sqrt {2})x)


  75. Nierówność z funkcją Euler'a
    Cytuj:
    Udowodnij, że dla dowolnych a,b \in N takich, że a<b istnieje takie n\in N, że spełniona jest nierówność a<\frac{\varphi(n+2)}{\varphi(n)}<b


  76. Równanie z parametrem
    Cytuj:
    Znaleźć wszystkie c>0 dla których istnieją dokładnie 3 pary (x,y) liczb naturalnych takie ze xy^2 - y^2 - x + y=c


  77. Zestaw zadań z KMDO
    Cytuj:
    5. Problem rozwiązany przez użytkownika Sylwek


  78. Trzy lematy
    Cytuj:
    Problem połowicznie rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy
    c) Dowiesc ze jesli F jest polem wielokata wypuklego , a L dlugoscia lamanej go ograniczajacej, zas R promien najmniejszego koła zawierajacego ten wielokat, to
    \pi R^2-LR+F \leq 0 i... Kiedy zachodzi rownosc??


  79. 2x(nierówność geometryczna+funkcja)
    Cytuj:
    1. W trójkącie ABC punkt M jest środkiem ciężkości. Okrąg opisany na trójkącie AMC jest styczny do prostej AB. Wykaż, że
    sinCAM+ sinCBM  \leqslant   \frac{2}{ \sqrt{3} }

    3. Udowodnij, że jeżeli M jest dowolnym punktem wewnętrznym trójkąta ABC, to:
    min(MA,MB,MC)+MA+MB+MC<AB+BC+CA






    ----------------------------------------------------------------------------
    Tematy zawierające kilkanaście zadań:
    ----------------------------------------------------------------------------

  80. :arrow: Obóz matematyczny Gryfino 2005

  81. :arrow: Obóz matematyczny Gryfino 2006

  82. :arrow: Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007

  83. :arrow: Mix matematyczny (9) - geometria

  84. :arrow: Mix matematyczny (14) - geometria

  85. :arrow: Maxi-mix (TEORIA LICZB)- dualne do Mathlinks

  86. :arrow: Mix matematyczny (15) - kombinatoryka

  87. :arrow: Mix matematyczny (16) - teoria liczb

  88. :arrow: Delta i Kwant - zestawienie kącików zadaniowych

  89. :arrow: Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2008




Powodzenia!
Góra
PostNapisane: 6 maja 2009, o 13:49 
Użytkownik
Oczywiście, jak większość użytkowników się orientuje, temat ten jest dziełem Sylwka. Ponieważ jego aktywność prawdopodobnie zmaleje w czasie przedłużonych wakacji ( maturzysta :) ), do odwołania tematem będę zajmował się ja. Nic w działaniu tego tematu nie ulegnie zmianie, postaram się nie zepsuć tego, co Sylwek wraz z molem_książkowym stworzyli. Dwa poprzednie posty zostały stworzone bez mojej pracy i są bez wątpliwości dziełem Sylwka ( być może jeszcze kogoś, kto mu w tym pomagał ). Mam nadzieję, że uda się rozwiązać trwające nadal problemy. O zadaniach ciekawych i dość wymagających, które należałoby tu umieścić proszę informować mnie na Obrazek

Powodzenia w rozwiązywaniu zadań :)
Góra
PostNapisane: 11 maja 2010, o 16:13 
Użytkownik
Niestety, a może na szczęście, forum się rozrosło i liczba ciekawych nierozwiązanych problemów znacząco wzrosła. Z tego powodu dalsze prowadzenie, czyli modyfikowanie tego tematu, jest dość pracochłonne itp. Wyżej zarysowane powody sprawiają, że temat ten zostanie zamknięty. Nie wykluczam, że kiedyś temat ten zostanie zaktualizowany, lecz na pewno nie teraz.

Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 mar 2013, o 23:02 
Użytkownik

Posty: 5804
Lokalizacja: Kraków
Cytuj:
Niestety, a może na szczęście, forum się rozrosło i liczba ciekawych nierozwiązanych problemów znacząco wzrosła. Z tego powodu dalsze prowadzenie, czyli modyfikowanie tego tematu, jest dość pracochłonne itp. Wyżej zarysowane powody sprawiają, że temat ten zostanie zamknięty. Nie wykluczam, że kiedyś temat ten zostanie zaktualizowany, lecz na pewno nie teraz.

Nierozwiązane problemy III

Niektóre zadania są z tzw. Mix-ów; a inne nie...
Problemy te nie są rozwiązane
(lub tylko w sposób częściowy)…
Wszelkie informacje, jakieś błędy ,itd. :arrow: do
mol_ksiazkowy lub Ponewor
Jest p=101 zadań:

Są one i z takiej tematyki:
:arrow: algebra
:arrow: geometria
:arrow: Nierówności;
:arrow: kombinatoryka
probablistyka, grafy itd. inne.
A więc:

1. Lemat Spernera
Cytuj:
Trójkąt T został podzielony na trójkąty, tak że każde dwa trójkąty są albo rozłączne, albo mają wspólny bok lub wierzchołek. wierzcholki trojkątów kolorujemy liczbami 0,1,2. tak ze dla kazdego koloru istnieje bok trójkąta T taki ze zaden wierzcholek lezacy na tym boku nie jest nim pokolorowany (w szczególności wierzchołki T są różnokolorowe). Udowodnij ze liczba trojkolorowych trójkątów jest nieparzysta.
Ukryta treść:    
Dumel
212696.htm

2. Reszty modulo
Cytuj:
Niech a,b \in \mathbb{N} będą takie, że \forall_{p \in \mathbb{P}} \ a \leq b (mod \ p), gdzie \mathbb{P} to zbiór liczb pierwszych.
Pokazać, że a=b
Piotr Rutkowski
268069.htm

3. Istniejące permutacje
Cytuj:
Przypuśćmy, że a _{1}, a _{2},...,a _{n} są liczbami całkowitymi takimi że n| a _{1}+a _{2}+...+a _{n}. Pokaż, że istnieją dwie permutacje \left( b _{1}, b _{2},..., b _{n}  \right) i \left( c _{1}, c _{2},..., c _{n}   \right) zbioru \left( 1,2,...,n\right) takie, że dla każdego 1\le i \le n
n| a _{i}-b _{i}-c _{i}.
Burii
252412.htm

4. Pokrycie kwadratu
Cytuj:
Tożsamość 1^2+2^2+3^2+...+24^2=70^2
nasuwa przypuszczenie, że możliwe jest pokrycie kwadratu 70 \times70 24-ma kwadratami o wymiarach 1 \times 1, 2 \times 2, 3 \times 3, ....., 24 \times 24 Czy takie pokrycie istotnie jest możliwe?
mol_ksiazkowy
144358.htm

5. Zbiór punktów
Cytuj:
Dane są punkt M, prosta l oraz wektor \vec{p} . Symetria względem prostej l przekształca dowolny punkt X w X^{'}, zaś przesuniecie \vec{p} przekształca X^{'} w X^{''}. Jaki zbiór tworzą punkty X, dla których punkty M, X, X^{''} są współliniowe?
Brycho
229292.htm

6. Mix, Kolory i liczby
Cytuj:
Udowodnić, że jest możliwe "pokolorowanie" każdej liczby wymiernej q dodatniej jednym z dwóch kolorów na czerwono lub biało w taki sposób, aby q i \frac{1}{q} były jednakowego koloru, zaś q i q+1 różnych kolorów.
juzef
11315.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


7. Proste równania
Cytuj:
Mamy równanie:

2^{x+y}-3^{y}=c \cdot p

Wszystkie zmienne to liczby naturalne. Przyjmijmy, że c=5, czy istnieje skończenie wiele par liczb x i y spełniających to równanie?

Czy dla dowolnie przyjętego c (poza c=1) istnieje skończenie wiele par liczb x i y spełniających to równanie?
matemix
292033.htm

8. Mix, IMO 5, Szacowanie ciągu
Cytuj:
Dany jest ciąg (a_n) spełniający warunki:
a_0 = 4
a_{n+1} = a_n^2 - 2.
Udowodnić, że a_{n+1} > 2 \sqrt{3} a_n...a_1a_0.
jerzozwierz
258027.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


9. Mix, Liczby naturalne, liczby pierwsze
Cytuj:
Dane są liczby całkowite m, n spełniające 0<n<m. Udowodnić, że jeśli liczby a^m - 1 i a^n - 1 mają te same dzielniki pierwsze, to a+1 jest potęgą dwójki.
jerzozwierz
259284.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika KPR.


10. Suma szeregu
Cytuj:
Wykaż, że:
\frac{1}{2}\;-\;\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}\;+\;\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}-\;\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot 12\cdot 14}\;+\;...=\;\sqrt{1\;-\;\frac{1}{\sqrt{2}}}
robin5hood
156192.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika JakimPL.


11. Funkcja i okres
Cytuj:
Niech a \neq b i f jest ciągła taka, że \frac{f(x)}{x^2} dąży do 0 kiedy x dąży do nieskończoności lub minus nieskończoności. Niech f(x+a)+f(x+b)=\frac{f(2x)}{2}. Uzasadnić że f jest okresowa.
tatteredspire
163889.htm

12. Mix, Jeden kwadrat
Cytuj:
Wykaż lub obal: Jeśli x, y są liczbami naturalnymi takimi, że xy+ x oraz xy+y są kwadratami pewnych liczb całkowitych, to dokładnie jedna z liczb x, y jest kwadratem liczby naturalnej.
Uwaga: Takimi są np. x=4 \ y=80
Ukryta treść:    
mol_ksiazkowy
258711.htm

13. Punkty na kuli
Cytuj:
Na powierzchni kuli wybieramy losowo 4 punkty. Ile wynosi prawdopodobieństwo, ze 4 z nich leżą na powierzchni pewnej połkuli ?
xiikzodz
96583.htm

14. Dwa kolory i trójkąt
Cytuj:
Każdy punkt płaszczyzny malujemy na jeden z dwóch kolorów. Pokazać, że istnieje trójkąt którego wierzchołki i środek okręgu wpisanego są jednokolorowe.
burii
287063.htm

15. Mix, Operacje w tablicy
Cytuj:
W każdym wierszu i w każdej kolumnie kwadratowej tablicy n \times n stoi dokładnie jeden raz liczba 1, dokładnie jeden raz liczba -1 i n-2 razy liczba 0. Operacja elementarna polega na zamianie miejscami dwóch kolumn lub zamianie miejscami dwóch wierszy. Dowieść, że za pomocą pewnej ilości operacji elementarnych można zamienić miejscami położenia +1 i -1.
Arbooz
4031.htm

16. Łatwa teoria liczb
Cytuj:
Witam, zadanie jest z okręgowych LX OM:

Dane są takie liczby całkowite a i b, że a > b >1 oraz liczba ab +1 jest podzielna przez a+ b, zaś liczba ab - 1 jest podzielna przez a-b. Wykazać, że a < b\sqrt{3}

Czy jest ktoś w stanie zaprezentować rozwiązanie zasadniczo różniące się od wzorcowego? Bo nie wierzę, że istnieje tylko jedna droga prowadząca do celu.
Ukryta treść:    
Marcinek665
264899.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


17. Mix 31, Trójkąty i węzły
Cytuj:
Jakie trójkąty prostokątne można narysować na płaszczyźnie z siatką kwadratową tak, że przeciwprostokątna leży na jednej z linii siatki, a wszystkie wierzchołki leżą w węzłach (tj. punktach kratowych) tej siatki ?
mol_ksiazkowy
328400.htm

18. Suma potęg z podzielnością
Cytuj:
Czy warunek n \mid \sum_{i=1}^{n-1} i^{n-1}+1 może spełniać k kolejnych (niekoniecznie k początkowych) liczb naturalnych, gdzie k jest większe od dowolnej liczby naturalnej m?
tatteredspire
304965.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Marcin7Cd.


19. Mix, zadanie 27
Cytuj:
Udowodnić nierówność \frac{A+a+B+b}{A+a+B+b+c+r} + \frac{B+b+C+c}{B+b+C+c+a+r} > \frac{C+c+A+a}{C+c+A+a+b+r}
w której wszystkie litery oznaczają liczby dodatnie
Ukryta treść:    
mol_ksiazkowy
135815.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


20. Tablica 9 \times 9
Cytuj:
W kwadratowa tablice składającą się z 81 jednakowych kwadratowych pól wpisano wszystkie liczby naturalne od 1 do 81. Udowodnij, ze dla dowolnego ułożenia liczb istnieją dwie sąsiednie różniące się co najmniej o 6. Przez sąsiednie rozumiemy liczby wpisane w pola o wspólnej krawędzi.
przemson
282454.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


21. Reszta
Cytuj:
Dla jakich liczb pierwszych nieparzystych liczba -3 jest resztą kwadratową modulo p ?
Ukryta treść:    
fala21
240086.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


22. Ciekawa geo; Czworokąt
Cytuj:
Niech O będzie punktem, w którym przecinają się przekątne czworokąta wypukłego ABCD. Okręgi opisane na trójkątach OAD i OBC i przecinają się w punktach O i M . Prosta OM przecina okręgi opisane na trójkątach OAB i OCD w punktach P i Q. Pokaż, że M jest środkiem PQ.
tometomek91
260759.htm

23. Konstrukcja
Cytuj:
Dane są trzy okręgi, w tym dwa styczne. Skonstruować okrąg styczny do tych trzech okręgów
porfirion
325233.htm

24. Problem przedstawialności
Cytuj:
Udowodnij, że istnieje tylko skończenie wiele liczb naturalnych n, których nie da się przedstawić w postaci sumy kwadratów różnych liczb naturalnych.
ElEski
330645.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika ElEski.



25. Wykazanie nierówności
Cytuj:
Niech x, y> 0 oraz 3(x+y) \ge 2(xy+1).Wykaż 9(x^{3}+y^{3}) \ge x^{3}y^{3}+1
marek12
207340.htm

26. Bijekcja jako suma bijekcji
Cytuj:
Wykaż że każda bijekcja f : Z \mapsto Z jest sumą dwóch funkcji g, h : Z \mapsto Z które są bijekcjami.
Burii
252141.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Zordon.


27. Nierówność Newberga Pedoe’a
Cytuj:
Gdy dane są dwa trójkąty t1 oraz t2 o bokach
a_1, b_ 1, c_ 1 oraz a_2, b_ 2, c_ 2
i o polach \Delta_1 , \ \Delta_2 to :
a_1^2(b_2^2 +c_2^2-a_2^2) + b_1^2(c_2^2 +a_2^2-b_2^2)+ c_1^2(a_2^2 +b_2^2-c_2^2) \geq 16 \Delta_1 \Delta_2
i kiedy zachodzi równość ?
mol_ksiazkowy
306137.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


28. Własność czworościanu
Cytuj:
Udowodnić, że jeżeli kula wpisana w czworościan ma wspólny środek z kulą opisaną na tym czworościanie, to sumy kątów płaskich przy każdym wierzchołku tego czworościanu są równe 180^{ \circ}
patry93
112165.htm

29. Znalezienie minimum
Cytuj:
Niech a, b \in N i a  \neq  1,b \neq  1, gdzie a^{9a}=b^{2b}. Znaleźć minimum 2a+b.
darek20
298948.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.



30. Układ wektorów
Cytuj:
Danych jest n wektorów \vec{v_j} na płaszczyźnie i wszystkie one są zaczepione w punkcie O(0,0) oraz |\vec{v_j}| =1 dla j=1,..., n. Wykaż że jeśli dla pewnego k, takiego że 2k <n nie mniej niż k wektorów leży po obu stronach dowolnej prostej do której należy punkt O, to |v| \leq n-2k, gdzie v jest sumą wektorów \vec{v_j}. Czy może zachodzić równość ?
mol_ksiazkowy
260057.htm

31. Zbiór skończony
Cytuj:
Niech M będzie zbiorem skończonym, który zawiera co najmniej 2 różne dodatnie liczby rzeczywiste. Załóżmy że dla dowolnego a \in M, istnieją b, c \in M (a, b, c niekoniecznie różne) takie, że a = 1 +\frac{b}{c}. Udowodnić, że można znaleźć x, y \in M \ (x  \neq  y) spełniające warunek x + y> 4.
darek20
276169.htm

32. Równanie diofantyczne; HARDCORE
Cytuj:
Rozwiązać w Z+: (a^{2}+b^{2}-c^{2})(a+b)=2ab^{2}
Andix
6961.htm

33. Mix, Zawodnicy i zadania
Cytuj:
Pewne zawody matematyczne odbyły się w dwóch dniach. Rozwiązywano łącznie 28 zadań. Dla dowolnej pary dwóch zadań znalazło się dokładnie dwóch zawodników, którzy je rozwiązali. Każdy zawodnik rozwiązał dokładnie 7 zadań. Wykazać, że był taki zawodnik, który w pierwszy dzień albo nie rozwiązał żadnego zadania albo rozwiązał co najmniej cztery
Ukryta treść:    
mol_ksiazkowy
232593.htm

34. Mix 27, Rozkład
Cytuj:
Dane są trzy liczby naturalne x, y, z powiązane zaleznościa xy= z^2+1. Wykazać, że istnieją liczby całkowite a, b, c, d takie że
\begin{cases} x=a^2+b^2\\y=c^2+d^2\\z=ac+bd\end{cases}
Dać przykład (podając a,b,c,d, dla x=13, \ y=5, \ z=8)
mol_ksiazkowy
204235.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy .


35. Równanie Bacheta
Cytuj:
Równanie diofantyczne:
x^{3} = y^{2} + k
zależne od parametru całkowitego k nazywa się równaniem Bacheta (albo równaniem Mordella).
Pokaż, że istnieje nieskończenie wiele parametrów k takich, że równanie to nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych.
max
197931.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


36. Ciąg i różnice
Cytuj:
Czy istnieje ściśle rosnący ciąg liczb całkowitych dodatnich a_n taki, że a_n \leq n^3 oraz każda liczba całkowita dodatnia występuje dokładnie raz jako różnica dwóch elementów tego ciągu?
Kolega Damiana
247665.htm

37. Lemat o liczbach zespolonych
Cytuj:
Dany jest skończony ciąg liczb zespolonych: z_1, ....,z_n, wykaż ze można wybrać S \subset \{ 1, ...,n\} t. że zachodzi (*). Dać też przykład, że uogólnienie na przypadek nieskończony nie działa (a może jednak....?!). Wszelkie metody i uwagi mile widziane. etc
:arrow: (*) |\sum_{j \in S} z_j| \geq \frac{1}{6} \sum_{j=1}^n |z_j|
mol_ksiazkowy
40432.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


38. Ciąg stopni
Cytuj:
Czy każde dwa grafy SPÓJNE o takim samym ciągu stopni są izomorficzne?
Proszę o pomoc w postaci odpowiedzi z uzasadnieniem, bądź kontrprzykładu
MatizMac
265959.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


39. Kombi z wartością bezwzględną
Cytuj:
Wśród liczb 1,2,3,...,n+1 jedna liczba została skreślona, zaś pozostałe są ustawione w kolejności a_{1} ,a _{2} ,..., a_{n} w taki sposób , aby wszystkie n wartości bezwzględnych \left| a _{1}-a _{2}  \right| ,\left| a _{2}- a_{3}  \right| ,..,\left|a _{n} -a _{1} \right| różniły się pomiędzy sobą. Dla jakich liczb naturalnychn \ge 3 można to zrobić ?
cyberciq
221132.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


40. Nierówność w trójkącie
Cytuj:
Pokaż że jeśli a,b,c są bokami trójkata oraz c\geq a to \frac{b^{2}+c^{2}}{a^{2}}\geq \frac{2\sqrt{3}c\cdot\sin\beta -a}{b+c}
gdzie \beta jest kątem ABC
rochaj
319066.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


41. Granica ciągu rekurencyjnego
Cytuj:
Niech \{a_n\}_{n = 0}^{\infty} : a_0 = a_1 = 1, a_{n + 2} = \frac {1}{a_{n + 1}} + \frac {1}{a_n} .Oblicz \lim_{n \to \infty}a_n
Ukryta treść:    
robin5hood
204561.htm

42. Mix, Trójka Cevy
Cytuj:
Trzy punkty leżące na trzech bokach trójkąta nazwiemy trójką Cevy, jeżeli proste łączące te punkty z wierzchołkami przecinają się w jednym punkcie. Przypuśćmy, że wykreśliliśmy okrąg przez punkty tworzące trójkę Cevy otrzymując trzy nowe punkty na bokach trójkąta. Udowodnij, że nowe punkt także tworzą trójkę Cevy.
Sylwek
42349.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


43. Wykazanie nierówności
Cytuj:
Niech a,b,c, d całkowite i takie ze \lvert\ ad-bc \rvert=1 oraz \lvert\ a \rvert> \lvert\ c \rvert . Wykaż że a^{2}+ab+b^{2}\ge c^{2}+cd+d^{2}.
darek20
270443.htm

44. Podział zbioru
Cytuj:
dla jakich n można zbiór \{1,2,...,3n\} podzielić na n trójelementowych podzbiorów takich że w każdym z nich największa liczba jest równa sumie dwóch mniejszych?
moje wypociny:    
Dumel
135668.htm

45. Nierówność z maksimum
Cytuj:
Dane są liczby rzeczywiste A,B,C>0 wykaż nierówność max(A^2-B, B^2-C,C^2-A) \ge max(A^2-A, B^2-B,C^2-C)
marek12
204425.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika timon92.


46. Dwa równania
Cytuj:
1.Dla a,b,c \in N
Znajdź wszystkie rozwiązania równania a^2 + b^3 = c^4
2.Dla a,b,c,d \in N
Znajdź rozwiązania równania a^2 + b^3 + c^4 = d^5
Milczek
330748.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika Jakub Gurak.


47. Trójkąty w wielokącie
Cytuj:
Mamy n - kąt wypukły (n>3) w którym żadne trzy przekątne nie mają wspólnego punktu. Ile jest wszystkich trójkątów powstałych w wyniku podziału tego n-kąta tymi \frac{n(n-3)}{2} przekątnymi
zaklopotany93
314692.htm

48. Mix, Ciąg i minimum
Cytuj:
Dla ustalonej liczby naturalnej n \ge 2 określamy:
x_1=n, \ \  y_1=1, \ \ x_{i+1}= \left[ \frac{1}{2}(x_i+y_i)   \right], \ \  y_{i+1}= \left[ \frac{n}{x_{i+1}}   \right].
Dowieść, że \text{min}\{x_1, x_2,...,x_n\}=\left[\sqrt{n} \right]
ares41
259276.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


49. Nierówność z mantysą
Cytuj:
Wykaż dla każdej liczby naturalnej bez zera: \left\lfloor n\sqrt 3\right\rfloor\left\{n\sqrt 3\right\}>\frac{3}{5}
darek20
239100.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


50. Teoria liczb, zestaw mola, problem 100
Cytuj:
Niech S będzie zbiorem 43 liczb naturalnych nie większych niż 100. Dla każdego podzbioru X \subset S niech t_X to będzie iloczyn wszystkich liczb ze zbioru X. Wykaż, ze istnieją dwa rozłączne podzbiory A, B zbioru S takie, że t_At_B^2 jest sześcianem liczby naturalnej
mol_ksiazkowy
137764.htm

51. Własność k podziału
Cytuj:
Dany jest ciąg liczb rzeczywistych a_1,a_2,...,a_n oraz liczba rzeczywista M. Powiemy, że ten ciąg ma własność k-podziału (k\in \mathbb{N}_{>0}) jeżeli istnieje podział tego ciągu na dokładnie k spójnych, niepustych fragmentów, każdy o sumie nieprzekraczającej M.

Udowodnić, że dla dowolnego M jeśli ciąg ma własność k_1-podziału oraz k_2-podziału to ma też własność k-podziału dla wszelkich k_1\leq k\leq k_2.
Zordon
305015.htm

52. Mix, Dualne do Mathlinks; ostatnie
Cytuj:
Niech A będzie skończonym zbiorem liczb, takim że: dla dowolnego a \in A istnieją dokładnie dwa elementy b, c \in A i b \leq c i a=b+c. Wykaż, ze istnieją parami różne elementy a_1, ... , a_k \in A takie że: a_1+...+a_k=0
mol_ksiazkowy
80090.htm

53. Turniej niehamiltonowski
Cytuj:
Udowodnij że w każdym niehamiltonowskim turnieju możliwy jest podział wierzchołków na dwie klasy A i B, taki że dla dowolnych wierzchołków a \in A i b \in B krawędź skierowana między nimi ma zwrot a \to b
Dumel
160382.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika kaszubki.


54. Nierówność , dwusieczna
Cytuj:
W trójkącie ABC dwusieczna kąta wychodząca z wierzchołka A przecina okrąg opisany na tym trójkacie w punkcie K. Jeśli X jest środkiem AK pokaż że BX+CX\geq{AK}
darek20
232042.htm

55. Mix, Wybór punktów
Cytuj:
W prostokącie o polu jednostkowym wybrano pięć punktów takich, że żadne trzy nie są współliniowe. Znajdź najmniejszą liczbę trójkątów o wierzchołkach w trzech z tych pięciu punktów takich, że pole żadnego trójkąta nie przekracza \frac{1}{4}.
snm
133359.htm

56. Losowanie liczb
Cytuj:
Ze zbioru \{1,2,...,n\} wybieramy losowo bez zwracania k liczb (k \leqslant n). Oblicz wartość oczekiwaną różnicy między największą a najmniejszą z wylosowanych liczb.
marek12
206305.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika fon_nojman.


57. Kartka z trudnymi, zawody, T9
Cytuj:
Czy istnieje funkcja ograniczona i ciągła f: \mathbb {R} \to \mathbb {R} taka, że dla dowolnych x,y  \in \mathbb {R} :
(f(x)-f(y))(f(x)+f(y))=f(x-y)f(x+y) ?
Ukryta treść:    
snm
123114.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


58. Mix 23, okres
Cytuj:
Niech f: R \mapsto R będzie taka funkcją, iż |f(x)| \leq 1 dla każdego x \in R, oraz zachodzi tożsamość f(x) + f(x+ \frac{13}{42})= f(x+ \frac{1}{6}) + f(x+ \frac{1}{7}). Wykaż, że f jest funkcją okresową.
mol_ksiazkowy
129937.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


59. Mix 29, Jeszcze jeden podział
Cytuj:
Wskazać (wraz z dowodem ) najmniejszy możliwie n takie, że przy dowolnym podziale zbioru S= \{ 1,2,3,...,n \} na dwa podzbiory, jeden z nich (lub być może oba) będzie zawierał elementy a, b \ a \neq b takie że ab dzieli się przez a+b
mol_ksiazkowy
288063.htm

60. Konik i miny
Cytuj:
Mamy sobie skoczka który skacze po prostej linii, wykonuje on n ruchów przy czym każdy jest innej długości i nie większej niż n. Tzn. wykonuje ruchy długości 1;2;3;....n-1;n przy czym w dowolnej kolejności. Czy jest możliwe, aby ustawiając na drodze n-1 min skoczek nie mógł przejść
exupery
216451.htm

61. Suma kwadratów i kwadrat sumy
Cytuj:
Przekształcić (elementarnie) do postaci sumy kwadratów bądź kwadratu sumy \sum_{i=1}^{n} {a_i}^n-n \prod_{i=1}^{n} a_i gdzie a_i \ge 0 dla dowolnego i=1,2,3,...,n
tatteredspire
294495.htm

62. Dobór znaków
Cytuj:
Każdy z wektorów (na płaszczyźnie \mathbb{R}^2) \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n ma długość nie większą niż 1. Udowodnij że w wyrażeniu
\beta = \pm \alpha_1\pm \alpha_2 \pm...\pm \alpha_n
można tak dobrać znaki aby |\beta| \le  \sqrt{2}
Dumel
99009.htm

63.
Cytuj:
Dana jest liczba naturalna n. Udowodnić że pewna wielokrotność liczby n ma w systemie 7-kowym postać 333 \ldots 300 \ldots 0
matti44
253010.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


64. Mix 30, Iteracje
Cytuj:
Niech f będzie funkcją f: [0,1] \mapsto [0,1] ciągła i taką, że dla dowolnego x \in [0, 1] w ciągu iteracji x, f(x), f( f(x) ), … występuje element 0. Czy z tego wynika, iż \underbrace{f (f (f( \ldots )))}_{n} \equiv 0 dla jakiegoś n ?
mol_ksiazkowy
314794.htm
Ukryta treść:    


65. Zestaw od Iwana, Czwórki i kwadraty
Cytuj:
Znaleźć cztery takie liczby naturalne, aby suma każdych dwóch spośród nich była pełnym kwadratem. (Jest to uogólnienie zadania Diofantosa dla trzech liczb, - wtedy można wziąść np. 41, 80, 320).
mol_ksiazkowy
124399.htm

66. Mix zestaw 50 zadań, Problem 34
Cytuj:
Znajdź wszystkie trójki liczb naturalnych (x,y,u) spełniające układ równań :
\begin{cases}x+y=u+12\\ x^{5}+y^{5}=u^{5}+12\end{cases}
wiedzmac
320968.htm

67. Mix 9, Czworokąty
Cytuj:
Przekątne czworokąta ABCD przecinają się w punkcie O. Niech punkty P, Q, R, S będą rzutami punktu O odpowiednio na boki AB, BC, CD, AD. Udowodnić, że czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy w czworokąt PQRS da się wpisać okrąg.
limes123
79375.htm

68. Układ w całkowitych
Cytuj:
Rozwiązać:
\begin{cases} n+k=(NWD(n,k))^2\\k+m=(NWD(k,m))^2\\n+m=(NWD(m,n))^2 \end{cases}
n, m, k = ?
mol_ksiazkowy
90796.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


69. Mix, Gra
Cytuj:
Joasia i Onufry grają w następującą grę. Na tablicy są napisane liczby od 1 do 1000. Ruch polega na wymazaniu liczby, która nie jest dzielnikiem żadnej z wymazanych dotąd liczb. Przegrywa ten, kto nie może wykonać ruchu. Joasia zaczyna. Kto ma strategię wygrywającą ?
Swistak
211589.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


70. Układ równań
Cytuj:
Rozwiąż
\left\{\begin{array}{l}xy+\sqrt{2(x^{4}+y^{4})}=1\\x^{2009}y^{2013}=\frac{2}{3^{2011}}\end{array}\right
darek20
286142.htm

71. Liczby na tablicy
Cytuj:
na tablicy mamy n liczb rzeczywistych. ruch polega na wybraniu dwóch liczb i zastąpieniu każdej z nich przez ich sumę. wyznaczyć wszystkie liczby n, dla których zawsze (tj dla dowolnych początkowych liczb) można osiągnąć n równych liczb.
Dumel
140534.htm

72. Graf
Cytuj:
Graf nazywamy k-krytycznym, jeśli \chi(G)=k oraz dla każdego v \in V(G) jest \chi(G-v)< k. Wykazać, że dla każdego k-krytycznego grafu G zachodzi \delta(G) \ge k-1
nieOna3
302024.htm

73. Ograniczenie maksimum
Cytuj:
Niech a_{i}, i=1,2,3,\cdots,n są liczbami naturalnymi takimi że ~ \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots +\frac{1}{a_{n}}=1
Wykaż że ~ max~(a_{1},a_{2},\cdots, a_{n})\leq n^{2^{n-1}}
darek20
256608.htm

74. Mix, Ciągi vs szeregi
Cytuj:
Niech a_n oznacza ilość tych ciągów "zero- jedynkowych" mających n elementów, które nie zawierają sekwencji ...., 0, 1, 0, ....; zaś b_n ilość tych, które nie zawierają sekwencji: ..., 0, 0, 1, 1, .... ani ..., 1, 1, 0, 0, ..... Wykazać, iż b_{n+1}=2a_n dla n \geq 2
mol_ksiazkowy
306595.htm

75. Klub 444, runda piąta
Cytuj:
Dane są liczby całkowite dodatnie a, b, c takie, że ab|c(c^2-c+1) i a+b|c^2 + 1. Pokazać, że zbiory \left\{ a,b\right\} i \left\{ c, c^2-c +1\right\} są równe.
Coach
302107.htm

76. Nierówność z modułami
Cytuj:
Udowodnić w liczbach rzeczywistych, że:
\left| a\right| + \left| b\right| + \left| c\right| - \left| a+b \right| - \left| b+c \right| - \left| c+a \right| + \left| a+b+c \right|   \ge 0
Ukryta treść:    
skazy
292527.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkowników timon92 i Ponewor.


77. Zadanie z Hong Kongu z 94
Cytuj:
W turnieju udział bierze 10 zawodników, każda para uczestników gra ze sobą jeden raz. TRÓJKĄTEM będziemy nazywać trójkę uczestników: A, B, C, takich, że A wygrał z B , B wygrał z C , C wygrał z A. Niech ponadto W_i oznacza ilość gier wygranych przez i-tego zawodnika, L_i- ilość gier przegranych. Wiemy, że jeżeli i-ty zawodnik wygrał z j-tym, to L_i+W_j \ge 8.
Udowodnij, że w turnieju wystąpiło DOKŁADNIE 40 trójkątów.
jgarnek
171519.htm

78. Ciąg
Cytuj:
Dany jest niemalejący ciąg liczb naturalnych a_n.Wykazać, że jeśli ciąg \frac{n}{a_n} jest nieograniczony, to wśród jego wyrazów tego ciągu jest nieskończenie wiele liczb całkowitych
mol_ksiazkowy
17865.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


79. Szacowanie pierwiastka
Cytuj:
Niech x  \neq 0 będzie rzeczywistym pierwiastkiem równania ax^2+bx+c=0. Ponadto ,niech a, b i c będą całkowite spełniające nierówność \vert a\vert+\vert b\vert+\vert c\vert >1. Wykaż że \vert x\vert\geq \frac{1}{\vert a\vert+\vert b\vert+\vert c\vert-1}.
156143.htm
marek12

80. Pochodna
Cytuj:
Niech f(x)=\frac{2x}{1+e^x}. Udowodnij że dla każdego n f^{(n)}(0) jest całkowite
marek12
152636.htm

81. Płaszczyzna i punkty
Cytuj:
Danych jest 2n różnych punktów: n białych i n czarnych. Żadne trzy z nich nie są współliniowe. Udowodnić, ze można tak narysować n odcinków o końcach w danych 2n punktach, aby były one różnokolorowe i aby nie przecinały się one ze sobą.
mol_ksiazkowy
299754.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


82. Ciekawa teoria liczb
Cytuj:
Liczby całkowite dodatnie a, b spełniają następujący warunek:
2ab-1|4a^4-2a^2+1.
Należy udowodnić, że ten warunek pociąga za sobą:
\sqrt{ab-1} jest liczbą całkowitą.
Xmas11
109854.htm

83. Mix, Król i wieża
Cytuj:
Pewne pola na szachownicy zamalowano tak, że król nie może dotrzeć od lewego do prawego jej brzegu po polach zamalowanych. Udowodnić, że po nie zamalowanych polach może od dolnego do górnego brzegu szachownicy dotrzeć wieża.
mol_ksiazkowy
80279.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika limes123.


84. Istnienie funkcji
Cytuj:
Czy istnieje funkcja f: R^+\to R^+ taka że f(y) > (y - x) (f(x))^2 dla x, y \in R^+ gdzie y > x > 0?
Ukryta treść:    
darek20
258732.htm

85. Trójka
Cytuj:
Jest n+1 liczb naturalnych mniejszych od 2n. Wykazać, że można wybrać z nich trzy takie, aby jedna z nich była sumą pozostałych dwóch.
hubertwojtowicz
153781.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


86. Suma logarytmów
Cytuj:
Jak policzyć tę sumę:
\frac{1}{log2} + \frac{1}{(log2)(log3)} + \frac{1}{(log2)(log3)(log4)} + ...
marek12
141967.htm

87. Mix 26
Cytuj:
Na płaszczyźnie leży 2n+3 punktów, tak iż żadne trzy nie leżą na jednej prostej i żadne cztery na jednym okręgu. Wykaż, że wtedy można narysować okrąg na którym są trzy z tych punktów, tak iż z pozostałych 2n punktów dokładnie n leży wewnątrz tego okręgu a n pozostałych na zewnątrz tegoż okregu.
mol_ksiazkowy
179556.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


88. Generator modulo p
Cytuj:
Niech p będzie liczbą pierwszą dającą przy dzieleniu przez 20 resztę 11 lub 19. Udowodnić, że istnieją 3 kolejne liczby całkowite, które są generatorami modulo p
KPR
293702.htm

89. Mix 14, Trzy punkty
Cytuj:
Dany jest okrąg ABC i okrąg opisany na nim o. Styczna do o w punkcie A przecina prostą BC w punkcie D. Prosta prostopadła do BC w punkcie B przecina symetralną AB w punkcie E a prosta prostopadła do BC w punkcie C przecina symetralną AC w punkcie F. Udowodnij że D, E, F leżą na jednej prostej
Menda
79963.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika kaszubki.


90. Iloczyn
Cytuj:
Wartość wyrażenia (2^{\frac{1}{3}}-1)^{\frac{1}{3}} da się przedstawić w formie a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}+c^{\frac{1}{3}}, gdzie a, b, c liczby wymierne. Oblicz abc
darek20
253062.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika rochaj.


91. Nietypowa podzielność
Cytuj:
Dla jakich par (m,n) gdzie m \in Z \ ,  n \in Z zachodzi:
\frac{n^3+1}{mn-1} \in Z ?
Uwaga: Z = \{ 0, \pm 1, \pm 2, .... \}
Ukryta treść:    
mol_ksiazkowy
301531.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


92. Lemat o trójkącie
Cytuj:
Dany jest trójkąt ostrokątny ABC oraz punkt P, w jego wnętrzu taki, że kąty CAP i CBP są równe. Niech K i L są rzutami punktu P na boki AC i BC. Wykazać że symetralna odcinka KL dzieli na pół bok AB
Ukryta treść:    
mol_ksiazkowy
24620.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika timon92.


93. Mix, Punkty wymierne
Cytuj:
Udowodnij, że równanie ma y^2=x^3+x+1370^{1370} ma co najmniej 6 rozwiązań w \mathbb{Q}
robin5hood
140998.htm

94. Następna nierówność
Cytuj:
Niech a,b,c \geq 0 ,  \ a^{2}+b^{2}+c^{2}=2. Wykaż:
\frac{1+a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1+b^{2}c}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1+c^{2}a}{c^{2}+a^{2}}\geq 3
darek20
297726.htm

95. Szukane funkcje
Cytuj:
Wyznaczyc wszystkie funkcję ciągłe f:[0, \infty)\to\mathbb{R} takie ze \displaystyle\lim_{x\to \infty} f(x)=0 oraz f(x)+3f(x^2)=5f(x^3+1) dla x\geq 0.
darek20
294028.htm

96. Specjalna rekurencja
Cytuj:
Niech f : \mathbb{Z^* \times Z} \to \mathbb{Z} będzie funkcją spełniającą:
1. f(0, k) = 1 dla k = 0, 1
2. f(0, k) = 0 dla k \not\in \{0,1\}
3. f(n, k) = f(n - 1, k) + f(n - 1, k - 2n) dla dowolnych n \ge 1, k
wyznacz
\sum_{k=0}^{ {n+1 \choose 2} }f(n,k)

(Z* - całkowite nieujemne)
Dumel
188919.htm

97. Złożenie funkcji
Cytuj:
Rozstrzygnąć czy istnieje funkcja różniczkowalna f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, taka że (f \circ f)(x) = \sin x.
marek12
146509.htm

98. Porównanie i równość
Cytuj:
Niech x >0 i y >0 :
(\frac{1}{3} (x+ (xy)^{\frac{1}{2}}+ y))^{\frac{1}{3}} = (\frac{1}{2}(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}))^{\frac{1}{2}}
Czy x=y ?
mol_ksiazkowy
165403.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


99. Potrójna podzielność
Cytuj:
Znaleźć wszystkie liczby naturalne a,b,c takie że:
\begin{cases} 1+a|b^2+c^2\\1+b|c^2+a^2\\1+c|a^2+b^2\end{cases}
rochaj
310301.htm

100.
Cytuj:
Znajdź wszystkie czwórki liczb naturalnych (a,b,c,d) takich, że \\ \begin{cases} a | bcd+1 \\ b | cda+1 \\ c | dab +1 \\ d | abc+1 \end{cases}.
czekoladowy
317978.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


101. Własność funkcji
Cytuj:
Znaleźć wszystkie funkcje rzeczywiste f\,:\,\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+ spełniające równanie funkcyjne (tj. \,f(x)\,f(y)\,=\,f\big(y\,f(x)\big)\, ).
Uwaga:, tu już nie wymagamy, aby funkcja była surjekcją, a jedynie by liczby dodatnie przekształcała na dodatnie!
SirGeorge
117047.htm
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 31 mar 2014, o 14:41 
Użytkownik

Posty: 5804
Lokalizacja: Kraków
Są one i z takiej tematyki:
algebra
geometria
Nierówności;
kombinatoryka
probablistyka, grafy
itd. inne.
A więc:
Brak wiec zadań z działow: Analiza funkcjonala, Algebra abstrakcyjna, Równania rózniczkowe itd.
Niektóre problemy sa jakoś tam czesciowo przyblizone, oraz sa i źródła...
Ewentualne błędy (np. wadliwe linki) > pw.

Nierozwiązane problemy III
stan: 34/101 (aktualnie), tj. ok. 33, 6 %

Zadania:

1. Mix Robina, piętrowe potęgi
Cytuj:
Znajdź najmniejszą liczbę naturalną m spełniająca tę nierówność

\overbrace { 100^{100^{100^{.^{.^{.^{100}}}}}}}^m > \overbrace {3^{3^{3^{.^{.^{.^{3}}}}}}}^{100}
robin5hood
140998.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika marcin7Cd.


2. Iteracja
Cytuj:
Niech f(x)=x^{2}+bx+1 gdzie b\in (2;\frac{7}{2})
Rozwiąż nierówność f[f(x)]> x
marek12
205313.htm

3. Mix 12 zadań, suma kwadratem
Cytuj:
Znaleźć wszystkie liczby a, b{\in}N takie że a^b+b^a jest kwadratem liczby.
rochaj
340281.htm

4. Szczególna trójka
Cytuj:
Dla jakich x, y, z \in R
\{ x, y , z \} = \{ \frac{x-y}{y-z}, \frac{y-z}{z-x}, \frac{z-x}{x-y} \}
o ile x \neq y \neq z \neq x ?
mol_ksiazkowy
348278.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


5. Który współczynnik ?
Cytuj:
Czy największym współczynnikiem (1+2x+3x^2+4x^3)^n dla n>1 jest ten przy x^{2n} ?

Bo np. (1+2x+3x^2+4x^3)^2= 1 +4x+ 10x^2+ 20x^3 + 25x^4 + 24x^5+ 16x^6 itd.
mol_ksiazkowy
360273.htm
Ukryta treść:    


6. Bilard
Cytuj:
W układzie współrzędnych rysujemy parabolę o równaniu y=x^2. Niech \alpha będzie obszarem w I ćwiartce pomiędzy parabolą a osią OX. W obszarze tym porusza się kula bilardowa (jako punkt materialny) odbijając się od brzegu \alpha zgodnie z regułą "kąt padania=kąt odbicia". Dowieść, że kula odbije się od brzegu \alpha skończenie wiele razy.
patry93
160696.htm
Ukryta treść:    
Cytuj:
Problem rozwiązany link .


7. Ciekawe potęgi
Cytuj:
Czy istnieją takie liczby nieparzyste a,b\geqslant3, a < b, dla których równanie:

(2^a-1)^k = 2^b-1

będzie miało naturalne rozwiązanie k. Wydaje się że powinno pójść Fermatem...,
JPlenti
224601.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


8. Dwa ciągi
Cytuj:
Mamy dane 2 ciągi a_1, a_2, ..., a_n oraz b_1, b_2, ..., b_n liczb
a) całkowitych
b) rzeczywistych
takie, że ciągi wartości wielomianów Newtona n zmiennych o stopniach 1, 2, ..., n są dla tych ciągów równe. Dla jakich n ciąg b musi być permutacją ciągu a.
Swistak
258696.htm

9. Szczególne wielomiany
Cytuj:
Wyznaczyć wszystkie wielomiany f o współczynnikach całkowitych takie, że f(p)|2^p - 2 dla każdej liczby pierwszej p.
Coatch
299503.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Marcin7Cd.


10. Minimum w trójkącie
Cytuj:
Mamy trójkąt ABC, znaleźć minimum wyrażenia
(1+cos^2(A))(1+cos^2(B))(1+cos^2(C))
darek20
240549.htm

11. Ułamek będący kwadratem
Cytuj:
Czy liczba \frac{2m(2m-1)}{2n(2n-1)} może być kwadratem liczby naturalnej dla pewnych m,n\in\mathbb N^+,\ n\neq m\ ?
Ukryta treść:    
Jan Kraszewski

282793.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika mol_ksiazkowy.


12. Zwijanie iloczynu
Cytuj:
Wyznaczyć wzór jawny:

\prod_{n=1}^{\infty} \frac{a^k+a^n}{1+a^n}

dla:
a) a,k\in\mathbb{N},
b) a,k\in\mathbb{Z},
c*) a,k\in\mathbb{R}.
JakimPL
331721.htm

13. Kółka zainteresowań
Cytuj:
Danych jest 3n, ludzi n=1,2,3,\ldots oraz kółka zainteresowań. W każdym kółku jest nieparzysta liczba członków, a część wspólna dowolnych 2^{n-1}+1 kółek zawiera parzystą liczbę członków. Udowodnić, że kółek jest nie więcej niż 2^n+n2^{n-1}
marek12
134479.htm

14. Oszacowanie
Cytuj:
Niech x_1,x_2,\dots,x_n>0 będą takie że x_1x_2\cdots x_n = 1. Pokaż że \frac{x_k}{k + x_1 + x_2 + \dots + x_k} \geq 1 - \frac{1}{\sqrt[n]{2}} dla pewnego k \in \{1,2,\dots,n\}.
robin5hood
147831.htm

15. Ciąg Fibonacciego i nierówność
Cytuj:
F_1 = F_2 = 1, F_{n+2 }= F_{n+1} + F_n; n\geq 1. Dla każdego n\geq 2 i dla każdego rzeczywistego x wykazać nierówność
\sum_{k=1}^n|x-k|F_k\geq F_{n+2}+F_n-n-1
marek12
146515.htm

16. Iteracje
Cytuj:
Dana jest ustalona para (s,t) liczb całkowitych, s \neq 0 \neq t. Mając inna parę liczb całkowitych (x,y) zastępujemy ją wg schematu (x,y) \mapsto (x+t,y-s). Powiemy że para (x,y) jest szczególna , gdy po skończonej liczbie kroków (być może równej zeru) uzyskamy pewną parę (x^\prime, y^\prime) liczb które nie są względnie pierwsze.
1) Zbadaj czy (s, t) jest szczególna ?
2) Wykaż że dla dowolnej (s,t) istnieje para (x,y) która nie jest szczególna
mol_ksiazkowy
105081.htm

17. Mix 30, Wyrażenia kwadratami
Cytuj:
Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele par (t, v) liczb naturalnych o tej własności, iż tv - 2\sqrt{v^2 + t^2} +2 jest kwadratem liczby całkowitej.
b) to samo: dla par (u, z) i wyrażenia \frac{21u + 6z - 20}{7}
mol_ksiazkowy
314794.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika mol_ksiazkowy.


18. Zestaw od Iwana, Trójki
Cytuj:
Wyznaczyć wszystkie trójki ( x, y, z ) liczb całkowitych takie, że liczby x^2 + y, \  y^2  + z,  \ z ^2 + x są kwadratami liczb całkowitych.
mol_ksiazkowy
124399.htm
Ukryta treść:    


19. Następna nierówność
Cytuj:
Niech a,b>0;a^{3}+b^{5}\leq a^{2}+b^{2}. Pokaż że b-\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{1}{2}.
rochaj
334570.htm

20. Sumy kwadratów
Cytuj:
Niech K=\{n|n=a^2+b^2, a, b, n \in \mathbb{N},  a , b >0\}. Znaleźć wszystkie liczby całkowite m takie, że \{m, m+1, m+2\} \subset K.
rochaj
343340.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika Martingale.


21. Mix Zadania różne; Dziwna funkcja
Cytuj:
Wyznaczyć takie f: R \mapsto R różniczkowalne, nietożsamościowo zerowe i takie, że:
f(x)= x f^{\prime}(\frac{x}{\sqrt{3}}) dla x \in R
mol_ksiazkowy
356213.htm
Ukryta treść:    


22. Niezmiennik ciągu
Cytuj:
Z danego ciągu liczb 1, 2, ..., 1968, 1969 możemy usunąć dwie liczby, dopisując jednocześnie na końcu ciągu wartość bezwzględną ich różnicy. Czy przez wielokrotne zastosowanie tej operacji można otrzymać ciąg złożony z samych zer?

Wydaje mi się, że niezmiennikiem będzie w tym przypadku nieparzystość tego ciągu, lecz czy są inne niezmienne w tym zadaniu?
lordbross
321036.htm
Ukryta treść:    


23. Układ nierówności
Cytuj:
Niech a>b>c>1. Znajdź rozwiązania w liczbach dodatnich:
\begin{cases} ax>y+z \\ by>x+z \\ cz>x+y \end{cases}
Tifulo
342090.htm

24. Nietrywialne uogólnienie
Cytuj:
W jednej z kategorii na tegorocznym Kangurze, pojawił się taki o to problem:
Cytuj:
Ile liczb całkowitych dodatnich będących wielokrotnościami liczby 2013 ma dokładnie 2013 różnych dodatnich dzielników (do dzielników liczby zaliczamy 1 i tę liczbę) ?


Otóż ja podbijam i stawiam ogólniejszy problem:
Cytuj:
Dana jest liczba naturalna n > 1, oraz jej rozkład na czynniki pierwsze n= \prod_{i=1}^{m}p_{i}^{\alpha_{i}}. Ile liczb całkowitych dodatnich będących wielokrotnościami liczby n ma dokładnie n różnych dodatnich dzielników?

Ukryta treść:    
Ponewor
331782.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Marcin7Cd.


25. Własność ciągu Fibonacciego
Cytuj:
Udowodnić, że jeśli dodatnie całkowite n NIE jest postaci 2^y3^x (gdzie x i y są całkowite nieujemne), to F_n ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy postaci 4k+1 (gdzie k jest całkowite dodatnie).
no i F_n to n-ty wyraz ciągu Fibonacciego.
jakub jabulko
337816.htm

26. Mix Nierówności różne; Nieistniejąca funkcja
Cytuj:
Wykazać, że nie istnieje f: R_{+} \mapsto R_{+} taka iż
f \left( x \right) ^2  \geq f \left( x+y \right)   \left( f \left( x \right) + y \right)
dla x, y \in R_{+}
mol_ksiazkowy
350194.htm
Ukryta treść:    

Cytuj:
Problem rozwiązany link .


27. NWD i NWW elementarnie
Cytuj:
Nie korzystając z pojęcia liczb pierwszych i własności z nimi związanych (ale tylko z nimi, typu rozkład na czynniki pierwsze) oraz pojęcia względnej pierwszości, pokazać że:

dla dowolnych liczb naturalnych a,b,c zachodzi abc=[a,b,c](ab,ac,bc)=(a,b,c)[ab,ac,bc] oraz [a,b,c](a,b,c)\mid abc

Dodatkowo - pokazać, że abc=[a,b,c](a,b,c) \Leftrightarrow (a,b)=(a,c)=(b,c)=1
tatteredspire
300259.htm

28. Diofantos, trzy zmienne
Cytuj:
Rozwiązać równanie w zbiorze liczb naturalnych
(a+2)(b+2)(c+2) = (a+b+c+2)^2
darek20
298453.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika JakimPL.


29. Pokrycie wielokąta
Cytuj:
Dla każdej trójki kolejnych wierzchołków wielokąta wypukłego narysowano okrąg przechodzący przez te wierzchołki. Udowodnić, że ten spośród otrzymanych okręgów, który ma największy promień zawiera cały wielokąt.
Uzasadnić, ze założenie o wypukłości jest tu istotne.
mol_ksiazkowy
305007.htm

30. Mix dla szachistów; Hetmany
Cytuj:
(M. Gardner) Ustawić 20 hetmanów na szachownicy 8 \times 8 w taki sposób, aby każdy hetman mógł zbić (wykonując jeden ruch) dokładnie cztery z pozostałych 19 hetmanów
mol_ksiazkowy
300010.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika HuBson.


31. Totolotek
Cytuj:
Ile jest 6-elementowych podzbiorów zbioru \left\{ 1,2,3,...,49\right\}, takich, że nie ma w nim żadnych dwóch kolejnych liczb.
Ukryta treść:    
porfirion
319681.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika fon_nojman.


32. Mix Zestaw mola (końcówka); liczba taksówkowa
Cytuj:
Czy z tożsamości Ramanujana:
(3a^2 + 5ab - 5b^2)^3 + (4a^2 - 4ab - 5b^2)^3 = (- 5a^2 + 5ab + 3b^2)^3 + (6a^2 - 4ab + 4b^2 )^3
można uzyskać rozkład 1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 (liczba Hardy’ego ) znajdując w niej a i b ?
mol_ksiazkowy
340901.htm
Ukryta treść:    

Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy .


33. Nierówność z mantysą
Cytuj:
Pokaż że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi \frac{1}{2n}< \{ \sqrt{7}n \} < 1 - \frac{1}{6n}
rochaj
337616.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika marcin7Cd .


34. Symetrie i zbiory
Cytuj:
Czy istnieje figura (zbiór):
a) skończona (której promień jest skończony) o więcej niż 1 środku symetrii
b) nieskończona o n środkach symetrii, gdzie n>1
c) czy w innej niż euklidesowej metryce jest to możliwy któryś z powyższych przypadków.
exupery
290307.htm

35. Szacowanie pochodnej
Cytuj:
Niech f(x) będzie wielomianem stopnia n. Pokaż że \max_{x\in [-1,1]}|f'(x)| \le n^2\max_{x\in [-1,1]}|f(x)|.
rochaj
332967.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


36. Gra z pionkami
Cytuj:
Mamy sobie planszę 4n \times 4n i ustawiamy na niej maksymalną liczbę pionków tak, aby w żadnym wierszu ani kolumnie nie stały 2 pionki. Każdego pionka chcemy przesunąć na którąś z dwóch przekątnych, ale nie obchodzi nas to, czy będzie on na jednej, czy na drugiej przekątnej. Ponadto na jednym polu może stać wiele pionków.

Ruch polega na przesunięciu pionka na sąsiednie pole.
Jaka jest maksymalna możliwa liczba ruchów potrzebna do przesunięcia wszystkich pionków na przekątne ?
kaszubki
342051.htm

37. Mix, turniej
Cytuj:
(Musztari) W turnieju szachowym każdy z uczestników rozegrał po jednej partii ze wszystkimi pozostałymi. Wykaż, że uczestników turnieju można tak ponumerować, że żaden z nich nie przegrał partii z graczem o numerze większym o 1 od jego numeru.
mol_ksiazkowy
300010.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika porfirion.


38. Mix Ciągi vs szeregi; rekurencja
Cytuj:
Ciąg liczb dodatnich a_0, a_1, a_2, a_3, ... spełnia zależność:
2^{n+1}(a_{n-1}-a_n)=a_n^2 dla n \geq 1. Wykazać zbieżność i obliczyć \lim a_n (w zależności od wyrazu początkowego a_0)
mol_ksiazkowy
306595.htm

39. Potęga w zbiorze
Cytuj:
Niech m \ge 2, m\in \NN. Znaleźć najmniejszą liczbę całkowitą n>m taką, że dla dowolnego podziału zbioru \{m,m+1,...,n\} na dwa podzbiory, przynajmniej jeden zawiera trzy liczby a,b,c takie, że c=a^b
ares41
341491.htm

40. Niewymierność w ułamku
Cytuj:
Usunąć niewymierność z mianownika \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{5}} (nie chodzi o trywialne \frac{\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{5}}}{1} itp.)
metalknigh
353623.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika fon_nojman.


41. Graf Petersena
Cytuj:
Dany jest graf G = (V,E), gdzie V = \left\{\left\{ i,j \right\}   : i, j  \in \left\{1,2,3,4,5\right\}\right\},
przy czym

uv  \in  E  \Leftrightarrow u  \cap v = zbiór pusty.
Udowodnij, że G jest izomorficzny z grafem Petersena.
Nie potrafię narysować tego grafu, tzn. wychodzi mi graf pełny na 5 wierzchołkach, który nijak nie jest izomorficzny z grafem Petersena. (A może jest ?)
Darkwing Duck
342029.htm

42. Szacowanie dwa razy
Cytuj:
Niech liczby naturalne m,n spełniają nierówność \sqrt{2}+\sqrt{3}-\frac{m}{n}>0. Pokaż że \sqrt{2}+\sqrt{3}-\frac{m}{n}>\frac{1}{3mn^3}.
rochaj
337587.htm
Ukryta treść:    


43. Jeszcze raz ciąg Fibonacciego
Cytuj:
Jak wykazać, że jeśli n\in\mathbb{N} i 5n^2\pm 4 jest kwadratem liczby naturalnej, to n jest liczbą Fibonacciego ?
kamiles
139542.htm

44. Niewymierność inaczej
Cytuj:
Udowodnij że liczba \sqrt{5} jest liczbą niewymierną (stosując przy tym indukcję matematyczną).
waliant
309957.htm
Ukryta treść:    


45. Nierówność z czterema zmiennymi
Cytuj:
bardzo fajna nierówność, chętnie zobaczę Wasze rozwiązania, bo zapewne można ją ugryźć z wielu stron:
dla dodatnich a,b,c,d o sumie równej 4:
a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab \le 4
proszę tylko nie piszcie: "jak się ujednorodni i wymnoży to pewnie wyjdzie"
Dumel
139180.htm

46. Nieprzecinające się odcinki
Cytuj:
Jaka jest liczba połączeń odcinkami w pary wierzcholkow 2n -kąta wypukłego, tak żeby odcinki się nie przecinały ?
lightinside
332951.htm

47. Dirichlet inaczej
Cytuj:
Mamy dwa koncentryczne dyski, każdy podzielony na 200 sektorów pomalowanych dwoma kolorami. Na zewnętrznym dysku liczba sektorów każdego koloru jest taka sama. Pokazać, że można tak nałożyć dyski na siebie, by uzyskać co najmniej 50% zgodności kolorów.
pelas_91
299708.htm

48. Średnia z minimów
Cytuj:
Dana jest rodzina wszystkich k-elementowych podzbiorów zbioru \left\{ 1,2,......,2n\right\}. Dla każdego takiego podzbioru A rozważmy jego najmniejszy element. Wyznaczyć średnią wielkość najmniejszego elementu po wszystkich takich k-elementowych podzbiorach.
willhelm
316841.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


49. Trzy proste i trójkąt
Cytuj:
Dane są trzy proste równoległe. Skonstruuj trójkąt równoboczny, którego każdy wierzchołek leży na innej prostej.
Tomasz Rużycki
11353.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


50. Inna suma potęg
Cytuj:
Udowodnić, że każdą liczbę naturalną n można przedstawić w postaci sumy takich liczb postaci 2 ^{i}3 ^{j}, że żadna z nich nie jest dzielnikiem którejś z pozostałych.
bakala12
341461.htm
Ukryta treść:    
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Msciwoj.


51. Część wspólna sfer
Cytuj:
Przez każdy wierzchołek i środki wychodzących zeń krawędzi danego czworościanu prowadzimy sferę. Udowodnij, że otrzymane w ten sposób cztery sfery mają punkt wspólny.
matex_06
86354.htm

52. Rekurencja i limes
Cytuj:
Niech \left\{\begin{matrix}a_{0}>0 &\\ a_{n+1}=a_{n}-e^{\frac{-1}{a_{n}^{2}}}&\end{matrix}\right. Pokaż ze \lim_{n\to \infty }a_n^2\ln(n)=1.
rochaj
309642.htm

53. Cecha i potęga dwójki
Cytuj:
Znaleźć największą liczbe k \in \mathbb{N} taką że \lfloor (1+\sqrt{3})^n \rfloor jest podzielne przez 2^k
darek20
251431.htm
Ukryta treść:    
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy .


54. Wędrówki pająka
Cytuj:
Mamy n okregów przecinajacych sie w punkcie O. Pająk wychodzi z punktu X na okregu S1 i idzie do punktu Y na S2 w taki sposób, że XY przechodzi przez punkt przecięcia okregow S1 i S2 różny od O. Udowodnij, ze pająk wróci do X po n takich przejściach.
limes123
90781.htm

55. Minimum warunkowe
Cytuj:
Niech 3x+2y+z=1 ~ oraz x,y,z są rzeczywiste.
Znaleźć maximum ~ \sum_{cyc}\frac{1}{1+|x|}
darek20
298605.htm

56. Jakie liczby ?
Cytuj:
Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p takie że \frac{p+1}{2} oraz \frac{p^2+1}{2} są liczbami pierwszymi.
rochaj
332392.htm
Ukryta treść:    


57. Mix 28, Rozkład na sumę
Cytuj:
1. a) Znaleźć wszystkie liczby naturalne a takie że a-1 jest sumą dwóch (niekoniecznie różnych) dzielników liczby a
b) Znaleźć wszystkie liczby naturalne a takie że a-1 jest sumą trzech (niekoniecznie różnych) dzielników liczby a
c) Podać przykład liczby a, takiej że a-1 jest sumą czterech (niekoniecznie różnych) dzielników liczby a
d) Czy prawdziwe jest twierdzenie: dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje tylko skończona ilość liczb a takich , że a-1 jest sumą n (niekoniecznie różnych) dzielników liczby a
mol_ksiazkowy
232593.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika Ahhaa.


58. Zamek
Cytuj:
Sekretny zamek ma na wspólnej osi 4 tarcze z których każda jest podzielona na 5 sektorów z napisanymi na nich cyframi. Zamek otwiera się tylko w takim położeniu tarcz przy którym cyfry na nich tworzą określona liczbę czterocyfrową. Znaleźć prawdopodobieństwo tego że przy przypadkowym ustawieniu tarcz zamek będzie można otworzyć.
kapi92
355205.htm

59. Złożenie funkcji
Cytuj:
Czy istnieje taka para funkcji g,h:\mathbb{R}  \mapsto  \mathbb{R}, że jedyną funkcją f:\mathbb{R} \mapsto  \mathbb{R} taką, że \forall_{x\in \mathbb{R}} f(g(x))=g(f(x))  \wedge f(h(x))=h(f(x)) jest identyczność ?
kaszubki
329730.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany link .


60. Znów trójkąt Pascala
Cytuj:
Znaleźć wszystkie pary liczb naturalnych, n oraz k, 2 < k < n, takich że
\binom{n}{k-1}, \binom{n}{k}, \binom{n}{k+1} tworzą rosnący ciąg arytmetyczny.
rochaj
335360.htm
Ukryta treść:    
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika czekoladowy.


61. Mix, Kongruencja z silnią
Cytuj:
Dla jakich n \in N jest \lfloor \frac{1}{3} n \rfloor ! \equiv 0 \ (mod \ n) ? W szczególności scharakteryzować rozmieszczenie tych liczb w zbiorze N
mol_ksiazkowy
mix 104547.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika Ponewor.


62. Niby proste równanie diofantyczne
Cytuj:
Jak rozwiązać w liczbach naturalnych takie równanie?
x^2 + y^2 = z^2 -1
oszust001
226596.htm
Ukryta treść:    


63. Nierówność z funkcją S
Cytuj:
Udowodnij, że dla dowolnej stałej k istnieje nieskończenie wiele takich liczb całkowitych n, że S(2^n+n)+k<S(2^n), gdzie S(a) to suma cyfr a w zapisie dziesiętnym.
Swistak
288343.htm

64. Podzbiory kwadratowe
Cytuj:
Podzbiór zbioru liczb naturalnych nazywamy kwadratowym jeśli dla każdych dwóch elementów należących do tego podzbioru, ich iloczyn powiększony o 1 jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.
Pokazać, że zbiór kwadratowy jest skończony. Znaleźć maksymalną możliwą liczbę elementów zbioru kwadratowego.
matex_06
106973.htm
Ukryta treść:    


65. Całkowita suma
Cytuj:
Znajdź wszystkie liczby naturalne a, b takie, że \frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1} też jest liczbą naturalną.
czekoladowy
277697.htm
Ukryta treść:    
Cytuj:
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika arek1357.


66. Twierdzenie Steinhausa
Cytuj:
Dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje na płaszczyźnie koło zawierające wewnątrz dokładnie n punktów kratowych.

Potrzebuję nie tyle dowód tego twierdzenia (chociaż jeżeli nie jest skomplikowany to może być w odpowiedzi), co przykład jego zastosowania w zadaniach...
aga.gmail
232497.htm
Ukryta treść:    
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


67. Przecięcia stycznych
Cytuj:
W trójkącie ABC punkty E i F są spodkami wysokości opuszczonych z wierzchołków odpowiednio B i C. Pokazać, że styczne do okręgu opisanego na trójkącie AEF w punktach E i F przecinają się w punkcie leżącym na odcinku BC.
blebla
304328.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Geftus .


68. Własność pewnej funkcji
Cytuj:
Niech S(n)= \sum_{d |n} \tau(d). Czy istnieją takie n, iż S(n)=n ? Jeśli tak wyznaczyć je wszystkie, przy czym \tau(n) oznacza ilość dzielników n
mol_ksiazkowy
150103.htm
Ukryta treść:    
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika marcin_smu .


69. Wielokrotności piątki
Cytuj:
Wykazać, że istnieją liczby podzielne przez 5 ^{1000} nie zawierające w swoim zapisie dziesiętnym ani jednego zera.
maciej.woznica
178259.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika marcin_smu .


70. Pokrycie N
Cytuj:
Wykazać, że jeżeli mamy dwie dowolnie wybrane liczby rzeczywiste a,b takie że a<b, to spośród wszystkich przedziałów postaci (a+2p \pi ,b+2p \pi ) gdzie p \in \mathbb{Z}, co najmniej jeden z tych przedziałów zawiera pewną liczbę naturalną.
tatteredspire
269783.htm

71. Układ, cztery zmienne
Cytuj:
Rozwiąż układ równań:
\begin{cases}   abcd= -1 \\

a+b+c+d= 2 \\

a^{2}+ b^{2} + c ^{2}+d ^{2}=8 \\

a ^{3}+b ^{3} +c ^{3} +d ^{3}=5 \\
\end{cases}
Serkuson
192280.htm

72. Własność czworokąta
Cytuj:
Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w pewien czworokąt. Wykazać, że punkt S jest współliniowy ze środkami przekątnych tego czworokąta.
platynamen
338562.htm
Ukryta treść:    
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


73. Trzy średnie
Cytuj:
Średnią kontrharmoniczną liczb dodatnich x, y nazywamy liczbę C=\frac{x^2+y^2}{x+y}. Wykazać, że A^2 \geq HC, gdzie A oznacza średnią arytmetyczna, zaś H średnią harmoniczną liczb x i y.
mol_ksiazkowy
35284.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


74. Ortocentrum
Cytuj:
Na czworokącie ABCD można opisać okrąg. Niech P będzie punktem symetrycznym do C względem AB, a Q punktem symetrycznym do C względem AD. Udowodnić, że PQ przechodzi przez ortocentrum trójkąta ABD.
adriano1992
239447.htm

75. Własność liczb Mersenne'a
Cytuj:
Udowodnij, że liczba Mersenne'a postaci 2^p-1 dla p\in\mathbb{P}, p>2 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi:
\sum _{k=0}^{2^p-3} 3^k \equiv 0 \pmod {2^p-1}
JakimPL
298124.htm

76. Hardkorowa trygonometria
Cytuj:
Niech \sin\left({x+y}\right) = 2\sin\left({\frac{{x-y}}{2}}\right) oraz \sin\left({y+z}\right) = 2\sin\left({\frac{{y-z}}{2}}\right).

Pokaż że \root 4\of{\frac{1}{2}\sin x\cos z}+\root 4\of{\frac{1}{2}\cos x\sin z}=\root{12}\of{\sin 2y}
darek20
291144.htm

77. Punkty w kole
Cytuj:
Niech S będzie zbiorem 25 punktów, takim, że w każdym 3-elementowym podzbiorze istnieją dwa punkty, których odległość nie przekracza 1. Udowodnić, że istnieje 13-elementowy podzbiór zbioru S, który można przykryć kołem o promieniu 1.
kordi1221
324952.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


78. Okrąg i punkty
Cytuj:
Danych jest 110 punktów wewnątrz okręgu jednostkowego. Pokaż, że co najmniej cztery z tych punktów leżą wewnątrz okręgu o promieniu \frac{1}{8}.
darek20
288297.htm

79. Mix, ogórki III; Współstyczne koła
Cytuj:
Na płaszczyźnie umieszczone są koła o rozłącznych wnętrzach, i każde koło jest styczne do co najmniej sześciu spośród pozostałych kół. Udowodnić, że kół tych jest nieskończenie wiele. Czy istnieje na płaszczyźnie skończona ilość kół o rozłącznych wnętrzach , z których każde jest styczne do pewnych pięciu spośród pozostałych kół ?
mol_ksiazkowy
304503.htm

80. Zbiory i elementy
Cytuj:
Dany zbiór X
A _{1} , A _{2} , A_{3} ,..., A_{1066} - podzbiory X
dla każdego i  \left|A _{i}\right|  >  \frac{1}{2} |X|
Pokazać, że istnieją x _{1} ,...,x _{10}  \in X takie, że dla każdegoi \in {1,...,1066} istnieje j \in {1,...,10}  \ x _{j}  \in A _{i}
Nominalista
350317.htm

81. Ilość ciągów
Cytuj:
Ile jest ciągów o długości 2n takich, że każda liczba i\in 
\left\{1,2, ... ,n \right\} występuje dokładnie dwa razy oraz każde sąsiednie dwa wyrazy są różne ?
pavel3643
341313.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


82. Jednokolorowe wierzchołki
Cytuj:
Wszystkie krawędzie sześcianu oraz jego przekątne i przekątne jego ścian pomalowano na biało lub czarno (każdy z wymienionych odcinków na jeden kolor). Udowodnij, że istnieją dwa różne czworokąty o wierzchołkach w wierzchołkach danego sześcianu i bokach jednego koloru.

230772.htm

83. Uczeni na konferencji
Cytuj:
W międzynarodowej konferencji naukowej wzięło udział 1998 uczonych. Wśród każdych trzech naukowców co najmniej dwóch włada tym samym językiem, a każdy z uczestników konferencji zna co najwyżej pięć języków. Udowodnij, że co najmniej 200 uczonych zna ten sam język.

159637.htm

84. Kliki w grafach
Cytuj:
Wiemy, że zachodzi następujące twierdzenie :
"każdy graf nieskierowany o sześciu wierzchołkach i przynajmniej dziesięciu krawędziach zawiera klikę trzyelementową"
Korzystając z tego faktu udowodnij, że każdy graf nieskierowany, który ma osiem wierzchołków i nie mniej niż 17 krawędzi, zawiera klikę trzyelementową.
rzexnik
307726.htm

85. Własność liczby 2821
Cytuj:
Pokazać, że 2821 jest liczbą Carmichaela.
gelo21
231941.htm
Ukryta treść:    
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy i Afish .


86. Mix 31; Liczby trójkątne
Cytuj:
Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb parzystych, będących różnicami dwóch liczb trójkątnych tylko na jeden sposób.
mol_ksiazkowy
328400.htm
Ukryta treść:    
Cytuj:
Problem rozwiązany link .


87. W trójkącie Pascala
Cytuj:
dla jakich n calkowitych wiekszyc od 1 liczby {n \choose 1}{n \choose 2},...,{n \choose n-1} maja wspólny dzielnik wiekszy od 1.

Doszedłem do tego że jak n jest pierwsze to wszystko działa,
jak n jest potęgą liczby pierwszej to wydaje mi się (dowodu nie umiem) ze też jest ok.; jak jest złożona to nie działa (tez nie umiem udowodnić)
qsiarz
39104.htm
Ukryta treść:    
Cytuj:
Problem rozwiązany link .


88. Zbiór z nwd
Cytuj:
Niech zbiór A zawiera n liczb naturalnych. Pokaż że zbiór postaci \left\{\frac{ab}{nwd (a, b)^{2}}: a, b\in A\right\} zawiera co najmniej n elementów.
darek20
277691.htm

89. Podzielność i nieparzystość
Cytuj:
Niech m,n naturalne Pokazać że jeśli \frac{(m+3)^n+1}{3m} całkowite to \frac{(m+3)^n+1}{3m} jest nieparzyste
marek12
168919.htm

90. Rozkład na sumę
Cytuj:
Niech k>2 naturalne.
Liczby k-kątne to elementy ciągu a_n = k\cdot\frac{n^2-n}{2}-n(n-2)

Twierdzenie Cauchy'ego (znalezione w Teorii liczb Narkiewicza)
Dla dowolnego n>2, każda liczba naturalna da się zapisać w postaci sumy co najwyżej n liczb n-kątnych.
rnd01001
269168.htm

91. Lemat o liczbach pierwszych
Cytuj:
Jak udowodnić takie twierdzenie:

Niech p>2 liczba pierwsza oraz k\in\{1,2,\dots,2p+2\}\setminus\{p,2p\}.
Niech N=2kp+1.
Następujące warunki równoważne są:
(1) N jest liczbą pierwszą
(2) istnieje a\in\{2,3,\dots,N-1\} takie że N\mid a^{kp}+1 oraz \gcd(a^k+1,N)=1 ?
rnd01001
268103.htm

92. Mix; kongruencja
Cytuj:
Niech p>2 bedzie liczbą pierwsza a k liczbą naturalną . Pokaż że
\sum_{j=0}^{k}\binom{k(p-1)}{j(p-1)}\equiv 2+p(1-k) (\mod p^{2})
rochaj
303955.htm

93. Max mix; Iloczyn
Cytuj:
Niech x, a, b to będą liczby naturalne , takie iż x^{a+b}=a^b b. Wykaż, ze a=x i b=x^x
mol_ksiazkowy
144358.htm

94. Nierówność dla ciągu
Cytuj:
Niech \{a_i\}_{0 \le i \le n} będzie niemalejącym i nieujemnym ciągiem. Niech b_j= \sum_{i=j}^{n}  {i \choose j} a_i. Pokaż że b_j^2 \ge b_{j-1}b_{j+1}
darek20
260842.htm

95. Iloczyn i suma
Cytuj:
Wykaż że
(1+x)(1+x^3)(1+x^5)... = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ x^{k^2} }{ (1-x^2)(1-x^4)... (1-x^{2k})}
robin5hood
142366.htm
Ukryta treść:    


96. Wielomian i podzielność
Cytuj:
Niech k\in N^* i wielomian P(x) taki że
P(x)\in Z, dla x\in Z.
xP(x)-P(x-1)=x^k.
Pokaż że 3|k-2.
robin5hood
200491.htm
Ukryta treść:    


97. Kostki
Cytuj:
Mamy duży zapas kostek sześciennych przezroczystych i zielonych, które są jednakowej wielkości. Z kostek takich budujemy bryły sześcienne, a kostki zielone umieszczamy w takich miejscach i w takiej liczbie, aby spełniony był następujący warunek: Jeżeli przez środek każdej kostki zielonej przeprowadzimy trzy proste równoległe do krawędzi zbudowanej bryły, to każda kostka użyta do budowy tej bryły zostanie przebita co najmniej jedną z tych prostych. Jaką najmniejszą liczbę zielonych kostek trzeba użyć do budowy bryły sześciennej złożonej ze 125 kostek ,aby spełniony był wyżej podany warunek ?
pitgot
328381.htm

98. Maksimum sum
Cytuj:
Dla każdej pary liczb całkowitych (x,y), spełniających równanie (x^2+y^2)(x-2y+15)=2xy, oblicz sumę x\!+\!y. W odpowiedzi podaj największą możliwą sumę.
sir George
359521.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


99. Nierówność Shapiro
Cytuj:
Niech n\in \mathbb{N}_{3} = \{3, 4, 5, \ldots\} oraz 0<a_{1}\leqslant a_{2}\leqslant \ldots \leqslant a_{n}
Wykaż, że:
\frac{a_{1}}{a_{2} + a_{3}} + \ldots + \frac{a_{n-2}}{a_{n-1} + a_{n}} + \frac{a_{n - 1}}{a_{n} + a_{1}} + \frac{a_{n}}{a_{1} + a_{2}}\geqslant \frac{n}{2}
max
98877.htm
Ukryta treść:    


100. Własność liczb pierwszych
Cytuj:
Czy istnieją n\in \mathbb{N}_{3} = \{3, 4, 5, \ldots\} i p_{1}, \ldots, p_{n} parami różne liczby pierwsze takie, że p_{i}\not\equiv 1\pmod{p_{j}} dla i\neq j, że dla każdego l \in \{1, \ldots, n\} istnieją k\in \{1, \ldots, n\} i parami różne j_{1},\ldots j_{k}\in \{1,\ldots, n\}, że zachodzi:
p_{j_{1}}\cdot \ldots \cdot p_{j_{k}} \equiv 1 \pmod{p_{l}} ?

(z odpowiedzi negatywnej wynikałoby istnienie ciekawego rozwiązania pewnego innego problemu).
max
97242.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Ponewor.


101. Szacowanie stopni
Cytuj:
Niech m,n\in \mathbb{N}, \ m,n\ge 2, niech f,g będą wielomianami (o współczynnikach rzeczywistych, albo ogólniej - zespolonych), przy czym f^{m} - g^{n}\neq 0.

Wykaż, że \deg (f^{m} - g^{n})\ge \frac{mn - m - n}{n}\deg f + 1.
max
184626.htm
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 wrz 2015, o 10:52 
Użytkownik

Posty: 5804
Lokalizacja: Kraków
N \sqrt{-1} ero z w \sqrt{-1} ą z ane Problemy 5

1. Mix zadania różne VI
Cytuj:
Lemat o grupie jednorodnej; Udowodnić iż w ośmioosobowej grupie osób istnieją rozłączne grupy jednorodne trzyosobowe
Grupa jednorodna to taka, w której każdy zna każdego lub nikt nie zna nikogo
(tez twierdzenia Turána)
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/268069.htm

2. Mix zadania różne I, Zadanie 30
Cytuj:
Niech \alpha będzie rozwiązaniem równania x^5+x-1=0. Wyznaczyć równanie, którego rozwiązaniem jest 1+ \alpha^4.
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/356213.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Hydra147.


3. Mix zadania różne VII
Cytuj:
Czy istnieją a, b >1 takie, że
\begin{cases} a^4 \ \equiv 1 \  \left( mod \ b^2 \right) \\ b^4 \ \equiv 1 \  \left( mod \ a^2  \right)  \end{cases}
?
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/375746.htm

4. Mix zadania różne IV
Cytuj:
Wewnątrz kwadratu jest zbiór odcinków o końcach na obwodzie kwadratu. Suma długości tych odcinków jest równa 3. Wykazać, że gdy 8r<1 to w kwadracie tym istnieje koło o promieniu r rozłączne z każdym z tych odcinków (tj. nie przecinające żadnego z nich).
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/369102.htm

5. Mix zadania różne VIII, zadanie 5 konstrukcja
Cytuj:
Mając dany okrąg i trzy niewspółliniowe punkty w jego wnętrzu skonstruować trójkąt wpisany w ten okrąg i taki, że na każdym jego boku jest jeden z tych punktów.
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/376737.htm

6. Mix Zadania z setką ; Zadanie 14
Cytuj:
100 zawodników rozgrywa turniej szachowy systemem każdy z każdym. Po 32 rundach turniej został przerwany. Wykazać, że co najmniej 4 pary graczy uzyskały ten sam wynik.
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/364038.htm

7. Mix zadania różne X; Zadanie 11
Cytuj:
W okrąg o obwodzie 24 wpisany jest trójkąt równoboczny oraz kwadrat i nie maja one wspólnego wierzchołka. Wykazać, że co najmniej jeden z siedmiu łuków , na które te wierzchołki podzieliły okrąg ma długość nie większą niż 1
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/381891.htm

8. Suplement KMDO, Zadanie 162
Cytuj:
Ciąg (x_n) określony jest następująco
x_1 =2 \quad x_{n+1} =\left[ \frac{3}{2} x_n \right] \quad \text{dla } \; n=1,2,3,\ldots
Udowodnij, że
1^\circ w ciągu (x_n) występuje nieskończenie wiele liczb parzystych i nieskończenie wiele liczb nieparzystych.
2^\circ ciąg \left( (-1)^{x_n} \right) nie jest okresowy.
frej
http://www.matematyka.pl/116213.htm

9. Nierówność na płaszczyźnie
Cytuj:
Dla pięciu punktów A,B,P,Q,R na płaszczyźnie pokaż że
AB+PQ+QR+RP \leq AP+AQ+AR+BP+BQ+BR
darek20
http://www.matematyka.pl/262207.htm

10. Mix IX, Zadanie o czworobloku
Cytuj:
Czworoblok to figura podzielona na cztery przystające wielokąty, tak iż część wspólna każdych dwóch z nich zawiera odcinek. Czy istnieją czworobloki wypukłe ?
Ukryta treść:    
mol_ksiazkowy

11. Trójkąt i liczba
Cytuj:
Czy dla każdej liczby wymiernej q istnieje trójkąt, którego długości boków są liczbami wymiernymi oraz jego pole jest równe q ? Odpowiedz uzasadnij.
rochaj
http://www.matematyka.pl/365254.htm

12. Punkty w kwadracie
Cytuj:
W kwadracie o boku 1 znajduje się m^2 punktów, tak że każde trzy nie leżą na jednej prostej. Pokaż ze istnieje trójkąt, którego wierzchołkami są trzy spośród tych punktów oraz pole tego trojka jest nie większe niż \frac{1}{2(m-1)^2}
alfred0
http://www.matematyka.pl/368533.htm

13. Nierówność w trójkącie
Cytuj:
Niech dany jest \Delta ABC o wysokościach h_{a},h_{b},h_{c} gdzie AB=c,BC=a,AC=b
Pokaż że dla dowolnego punktu P wewnatrz tego trójkata mamy
\sqrt{PA+PB}+\sqrt{PB+PC}+\sqrt{PA+PC}\ge 2\sqrt{h_{a}+h_{b}+h_{c}}
rochaj
http://www.matematyka.pl/392314.htm

14. Wartość funkcji
Cytuj:
Niech f(x) będzie funkcją ciągła na \left [ 0;1 \right ] i taka że:
1) f(0)=0, f(1)=1
2) 5f\left (\frac{3x+y}{4}\right) = 4f(x)+f(y) dla każdego x,y \inn \left [ 0;1 \right ] oraz x\geq y
Oblicz f(\frac{27}{55}).
rochaj
http://www.matematyka.pl/367753.htm

15. Graf
Cytuj:
Mamy graf. I jest on nieskierowany, spójny. Ma 100 wierzchołków. Ma taką własność: każdy podgraf ma wierzchołek (choć jeden) o takiej własności, że jego stopień to jest nie większy niż 10.
Udowodnić, że liczba wierzchołków stopnia co najmniej 30 jest mniejsza niż 66.
matinf
http://www.matematyka.pl/368774.htm


16. Gra
Cytuj:
Rozważmy grę, która polega na obstawianiu orła lub reszki na ustaloną przez nas kwotę, przyjmijmy k. Jeżeli obstawimy stronę, która wypadnie, do naszego kapitału wpływa k, natomiast jeżeli przegramy, musimy oddać k. Obie strony wypadają z równym sobie prawdopodobieństwem \frac{1}{2}. Gracz gra strategią następującą:
- w pierwszym kroku stawia 1 na orła (zauważmy, że obstawiany typ jest bez znaczenia),
- jeżeli przegra, podwaja stawkę; jeżeli jest to niemożliwe - gra va banque,
- jeżeli wygra, ponawia krok pierwszy, stawiając 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że, startując z kapitałem 2^N, przegra cały swój majątek, jeżeli gra kończy się nie później niż po n obstawieniach? Rozważyć nieskończoną odmianę tej gry iterowanej.

JakimPL
http://www.matematyka.pl/335473.htm

17. Równanie funkcyjne
Cytuj:
Znaleźć takie funkcje f, że dla każdego x,y  \in R zachodzi f(f(x)+y)+f(f(y)+x) = x+y
robson161
http://www.matematyka.pl/218814.htm

18. Maksimum iloczynu
Cytuj:
Niech x,y\in R tak że x+y=3(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+1}-1). Znaleźć maksimum xy.
rochaj
http://www.matematyka.pl/368329.htm

19. Funkcja i nierówność
Cytuj:
Niech f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x+1}}-1}. Pokaż ze dla każdego x\in (0,\infty) mamy
\[f(x)>\sqrt{\frac{x+1}{x}}\] oraz \[f(x)<\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\].
rochaj
http://www.matematyka.pl/338620.htm

20. Równanie modulo
Cytuj:
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x takie, że :
x \equiv 4 \ (mod \ 7) i 62x \equiv  \ 102 \ (mod \ 162)
Hodor
http://www.matematyka.pl/390362.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika Hodor.


21. Sumy kwadratów kolejnych liczb
Cytuj:
Czy i jakie i dla jakich n równanie :
a^2+ (a+1)^2+…+ (a+n)^2 = b^2
ma rozwiązania w zbiorze N ?
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/392616.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika mol_ksiazkowy.


22. Ile cyfr ?
Cytuj:
\huge \left(2^{43,112,609}-1\right)^{13\cdot 2^{43,112,609}-14}
ile cyfr ma liczba mówiąca o tym ile cyfr ma liczba określająca liczbę cyfr tej liczyby
Xitami
http://www.matematyka.pl/250259.htm

23. Suma z Mixa
Cytuj:
Obliczyć \sum_{n}^{k=1}  \frac{1}{(k+1) \sqrt{k} + k \sqrt{k+1}  }
laurelandilas
http://www.matematyka.pl/225942.htm

24. Hipoteza
Cytuj:
Proszę o pomoc w zweryfikowaniu następującej hipotezy (albo jakiekolwiek informacje z nią związane, jeśli jest znana):
Dla każdej liczby pierwszej p i dla każdego całkowitego dodatniego n zachodzi:
p \nmid 2^{2^{n}}+1  \vee p^{2} \nmid 2^{2^{n}}+1
Ponewor
http://www.matematyka.pl/370794.htm

25. Nieistniejący ciąg
Cytuj:
Pokaż że istnieje ciąg a_n\in\mathbb{N} taki że a_n \le n!e\le a _n + \frac{2}{n+1}
rochaj
http://www.matematyka.pl/350598.htm

26. Granica z arcusem
Cytuj:
Oblicz
\lim_{x\rightarrow 2}\arctan\left [\frac{96}{11}(\frac{\sqrt[4]{x+14}-\sqrt[3]{10-x}}{x-2})\right ]
rochaj
http://www.matematyka.pl/368038.htm

27. Różniaste z podzielności; Mix
Cytuj:
Wykazać, że i_{1977} ma co najwyżej 364 dzielniki naturalne; przy czym i_n= \underbrace{1 \cdots 1}_{n}
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/370545.htm

28. Nierozkładalny wielomian
Cytuj:
Pokaż że wielomian x^{2p}+px^n-1 jest nierozkładalny, gdzie p to liczba pierwsza
rochaj
http://www.matematyka.pl/340127.htm

29. Równanie 4 stopnia
Cytuj:
Znaleźć wszystkie x, y, z \in Z^{+} takie że x^4-4x^2y^2-4y^4=z^2
darek20
http://www.matematyka.pl/295206.htm

30. Mix matematyczny 33; Problem 3
Cytuj:
Liczby ze zbioru \{ 1, ..., 4k \} rozmieszczono w dowolny sposób przypisujac je różnym 4k punktom na okręgu. Udowodnić, że istnieje 2k rozłącznych cięciw i takich, że różnica liczb na obu końcach każdej z tych cięciw jest nie większa niż 3k-1
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/392838.htm

31. Wartość funkcji
Cytuj:
Niech f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} będzie funkcją mającą własność Darboux na \mathbb{R}. Pokaż że jeśli istnieje m>0 takie że |f(x)-f(y)| \ge  m|x-y|, dla x,y \in \mathbb{R} to f jest bijekcją.
darek20
http://www.matematyka.pl/295587.htm

32. Niewymierność sumy logarytmów
Cytuj:
wykazać że log_3 5 +  log_2 5 jest liczbą niewymierną.
ms7
http://www.matematyka.pl/372724.htm

33. Mix Zadania różne III
Cytuj:
Udowodnić, że dwie parabole, których osie symetrii są prostopadłe przecinają się w czterech punktach współokręgowych
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/368440.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika timon92.


34. Mix Zadania różne VI, Zadanie 26
Cytuj:
Wykazać że iloczyn wszystkich 2^{100} liczb \pm \sqrt{1} \pm \sqrt{2}  \pm ...  \pm \sqrt{99} \pm \sqrt{100}
jest kwadratem liczby całkowitej
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/372875.htm

35. Pół kwadrat
Cytuj:
Czy jeśli p jest liczbą pierwszą p=3k+1 to istnieją a, b \in Np=a^2+ab+b^2 tj. p jest pół kwadratem sumy. Czy taki rozkład jest jednoznaczny ?
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/392940.htm

36. Symetryczny układ
Cytuj:
Przeanalizować ten układ:
\begin{cases} x^k+ y = a\\ y^k+ x =a\end{cases}
gdy k \in N a a \in R
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/392576.htm

37. Wyznacznik, trzy zmienne
Cytuj:
Udowodnić, że jeśli:
A= \begin{bmatrix} 1+x^2-y^2-z^2&2(xy+z)&2(zx-y)\\2(xy-z) &1+y^2-x^2-z^2&2(yz+x)\\2(zx+y)&2(yz-x)&1+z^2-x^2-y^2\end{bmatrix}
to wyznacznik macierzy A to (1+x^2+y^2+z^2)^3
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/380078.htm

38. Suma z cechą
Cytuj:
Ile to jest \sum_{k=1}^n \lfloor (\frac{k}{3})^3 \rfloor ?
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/392396.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika liu.


39. Mix Zadania różne X; Problem 25
Cytuj:
Udowodnić, że \frac{1}{sin^2(\frac{\pi}{2n})}+ \frac{1}{sin^2(\frac{2\pi}{2n})}+  .... + \frac{1}{sin^2(\frac{(n-1)\pi}{2n})} =\frac{2}{3}(n-1)(n+1)
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/381891.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


40. Iloczyn pierwiastków
Cytuj:
Udowodnij, że jeśli liczby a i b są pierwiastkami wielomianu x ^{4} + x^{3}-1, to liczba ab jest pierwiastkiem wielomianu x ^{6}+ x^{4} +x ^{3}-x ^{2} -1.
Ukryta treść:    
satre
http://www.matematyka.pl/283145.htm

41. Dziwny wyznacznik
Cytuj:
Ile jest równy wyznacznik macierzy, w której:
pierwszy rząd to (a_1, a_2, a_3,...., a_n)
i ty rząd to (a_i, a_i, a_i ,...., a_{i+1}, ...., a_n)
n ty rząd to (a_n, a_n, a_n, ...., a_n)
?
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/382734.htm

42. Mix zadań, Problem 5
Cytuj:
Niech n będzie liczbą naturalną. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \left( a,b,c,d,e\right) takich, że
n =  \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}}{abcde+1}
Zahion
http://www.matematyka.pl/384243.htm

43. Nierówność
Cytuj:
Pokaż: -\sqrt{2}\log(\cos x)\leq\sqrt{x\tg x-\sin^{2}x} dla x\in\left [ 0,\frac{\pi}{2}\right)
darek20
http://www.matematyka.pl/259007.htm

44. Mix 11, Zadanie 29
Cytuj:
Dane są liczby naturalne a, b >1 względnie pierwsze i takie, że \frac{a^2}{2ab^2 -b^3 +1} jest liczbą całkowitą. Udowodnić, że a=7 i b=2
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/384833.htm

45. Istnienie liczby naturalnej
Cytuj:
Czy dla każdej liczby niewymiernej x istnieje liczba naturalna n \ge 1 taka, że iloczyn nx ma w rozwinięciu dziesiętnym nieskończenie wiele zer lub nieskończenie wiele dziewiątek?
scoopler
http://www.matematyka.pl/383719.htm

46. Mix Zadania różne XII, kwadraty
Cytuj:
Udowodnić, że nie istnieją liczby naturalne x, y takie że x^2+x y +y^2 oraz x^2 - x y +y^2 są kwadratami liczb całkowitych.
W.S.
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/386058.htm

47. Problem szklanych kul
Cytuj:
Szklana kula zrzucona z jakiegoś piętra n piętrowego wieżowca może się rozbić. Zależy to nie od kuli, lecz od wysokości. Mamy k takich kul. Należy ustalić minimalna ilość prób, które trzeba wykonać, zrzucając kule z pięter, aby zawsze wykryć numer najwyższego pietra, z którego zrzucona kula nie rozbije się.
Niech f(n, k)=m będzie szukaną ilością prób. Obliczyć f(206, 4)
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/387151.htm

48. Mix Zadania różne XIII; Problem 17
Cytuj:
Dla jakich liczb całkowitych m, n liczby 3^m + 1 i 3^n + 1 są podzielne przez mn ?
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/387762.htm

49. NWD wielomianów
Cytuj:
Obliczyć NWD dwóch wielomianów oto one:
x^3+x^2-x-1 i 3x^2+2x-1
lightinside
http://www.matematyka.pl/369995.htm

50. Jednoznaczność działania
Cytuj:
Czy jeśli (R, *) jest zbiorem z działaniem takim, że ( a*b) *c = a+b+c dla a, b, c \in R to a*b = a+b dla a, b \in R ?
O ile nie to wskazać inne (niż dodawanie) takie działanie
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/387305.htm

51. Nierówność ze Zwardonia
Cytuj:
Dane są takie liczby rzeczywiste x_1, x_2, ..., x_n, y_1, ..., y_n spełniające warunek x_1 ^2+ x_2 ^2+...+x_n^2=y_1^2+...+y_n^2=1 oraz x_1y_1+...+x_ny_n=0. Udowodnij, że (x_1+...+x_n)^2+(y_1+...+y_n)^2 \le n
Swistak
http://www.matematyka.pl/257181.htm

52. Tożsamość Li -Żen-szua
Cytuj:
Znaleźć dowód kombinatoryczny tożsamości \sum_{j=0}^{k} {k \choose j}^2 {n+2k-j \choose 2k}= {n+k \choose k}^2
Ukryta treść:    
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/388347.htm

53. Szczególny trójkąt
Cytuj:
Czy istnieje taki trójkąt o bokach całkowitej długości, że jedna z wysokości ma długość równą długości boku, na który została opuszczona?
KPR
http://www.matematyka.pl/262957.htm

54. Siedem fajnych Równań funkcyjnych
Cytuj:
Niech f:  \RR^{+} \to \left\langle -1, 1 \right\rangle
f (x+3) - f(x+2) = 3 \lfloor x  + \lfloor x \rfloor -2 \lfloor x+1 \rfloor   \rfloor dla x \in \RR. Udowodnić, że f jest okresowa.
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/391936.htm

55. Tożsamość z sinusem i cosinusem
Cytuj:
Pokaż że jeśli \dfrac{\cos x}{\cos y}+\dfrac{\sin x}{\sin y}=-1, to \dfrac{\cos^3 y}{\cos x}+\dfrac{\sin^3 y}{\sin x}=1.
alfred0
http://www.matematyka.pl/390015.htm

56. Obroty na łóżku
Cytuj:
Zając kładzie się spać na górnym piętrze łóżka piętrowego. Jest ono ustawione w ten sposób, że z jednej strony jest ściana, a z drugiej nie ma żadnej barierki, więc można spaść. Świstak widząc to zaczyna się zastanawiać jakie jest prawdopodobieństwo, że jego kolega spadnie. Pomóż świstakowi!
Wiadomo, że średnio człowiek w ciągu nocy obraca się n razy. Jeżeli w pewnym momencie L-P=k, to Zając spadnie, gdzie L to dotychczasowa liczba obrotów w lewo, a P w prawo.
kaszubki
http://www.matematyka.pl/294438.htm

57. Mix Teoria liczb; łatwe i trudne;
Cytuj:
Dla jakich a i b: b^2 jest podzielne przez a+1 i a^2 jest podzielne przez b+1 ?
mol_ksiazkowy
Ukryta treść:    
http://www.matematyka.pl/389511.htm

58. Suma tangensow
Cytuj:
Pokaż że \tg1^{\circ}+\tg7^{\circ}+...+\tg175^{\circ}=-30\sqrt3, gdzie 1^{\circ},7^{\circ},...,175^{\circ} tworzą ciag arytmetyczny.
rochaj
http://www.matematyka.pl/317637.htm

59. Policz ciągi
Cytuj:
Ile jest ciągów (o wyrazach 1,2..,m) o długości n takich, że każda z liczb 1,2...m wystąpiła w nim przynajmniej raz.
kjnm
http://www.matematyka.pl/390429.htm

60. Sumy cyfr
Cytuj:
Udowodnij, że dla każdej liczby pierwszej p>11 i dla każdego naturalnego k istnieje taka m będąca wielokrotnością p^k, że s(m)=p
kaszubki
http://www.matematyka.pl/295159.htm

61. Czworokąt
Cytuj:
Dany jest czworokąt wypukły ABCD, z jego dwusiecznych zewnętrznych tworzymy nowy czworokąt PQRS. Pokaż, ze jeżeli na ABCD można opisać okrąg to punkt przecięcia przekątnych ABCD i środki okręgów opisanych na ABCD oraz PQRS są współliniowe.
adamm
http://www.matematyka.pl/292288.htm

62. Równanie funkcyjne
Cytuj:
Skąd wiadomo, że dla równania funkcyjnego f(x+yf(x)^{2})^{2}=f(x)^{2}f(y)^{2} zachodzi, że f(x)^{2}=\sup(1+cx,0)?
pioti1625825
http://www.matematyka.pl/376874.htm

63. Ograniczony ciąg
Cytuj:
Określmy następująco ciąg liczb p_i:
- p_1, \ p_2 są liczbami pierwszymi
- p_n jest największym dzielnikiem pierwszym liczby p_{n-1}+p_{n-2}+2000
Udowodnij, że istnieje takie M, że dla każdego n zachodzi p_n \le M
Swistak
http://www.matematyka.pl/258955.htm

64. Funkcja
Cytuj:
Powiedzmy, iż mam funkcję rzeczywistą o wartościach rzeczywistych. Czy może być tak, że jest ona ciągła na pewnym zbiorze nigdziegęstym (nieprzeliczalnym) ?
Ao_no_Tengu
http://www.matematyka.pl/388077.htm

65. Funkcja Okresowa
Cytuj:
Niech f: R \mapsto R będzie taką, że f(x-1) - f(x+1) = \lfloor f(x)-f(x+1) \rfloor dla x \in R. Udowodnić, że f jest okresowa.
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/389876.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany połowicznie przez użytkownika jutrvy.


66. Malowanie kwadratu
Cytuj:
Ile jest istotnie różnych pokolorowań kwadratu 3 \times 3, przy których jest 7 pół czarnych i dwa białe?
wskazówka: skorzystaj z lematu Burnside’a
paulina95
http://www.matematyka.pl/390957.htm

67. Mix Kartka z średniotrudnymi ; Problem 15
Cytuj:
Niech A_n będzie zbiorem wszystkich liczb w formie 1+ \frac{a_1}{\sqrt{2}} + \frac{a_2}{\sqrt{2}^2}+ …+ \frac{a_n}{\sqrt{2}^n} gdzie a_j  \in  \{ -1, 1 \} dla j =1, …, n. Wyznaczyć \sum_{x , y \in A_n \ x \neq y} xy
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/394175.htm

68. Wielokrotność
Cytuj:
Ułóż dwie liczby wykorzystując wszystkie cyfry: 2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9 - tak, żeby jedna była dwa razy większa od drugiej.
podarek9
http://www.matematyka.pl/286492.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Marcin7Cd.


69. Jaki współczynnik ?
Cytuj:
Jaki jest współczynnik przy x^2 w rozwinięciu wyrażenia (x-1)(x-2)(x-3)...(x-n) ?
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/391690.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika pi0tras.


70. Własność \sqrt{2}
Cytuj:
Dany jest ciąg \lfloor n \sqrt{2} \rfloor = \lfloor  \sqrt{2n^2} \rfloor, Jego wyrazy są w pierwszym wierszu, a pod nim te których brak tj.
1,  \  2, \  4, \ 5, \ 7, \ 8, \ 9 , ...
3,  \  6,   10 ,  13,   17 ,  20 ,  23, ...
Udowodnić, że różnica liczb na n tym miejscu (w n tej kolumnie ) to 2n.
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/389728.htm

71. Twierdzenie o trójliściu
Cytuj:
W trójkącie ABC dwusieczna kąta A przecina okrąg opisany na tym trójkącie w punkcie M. Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Udowodnij, że odcinki MS, MB i MC mają tę samą długość.
malwinka1058
http://www.matematyka.pl/387935.htm

72. Rozwiązanie nierówności
Cytuj:
Znaleźć wszystkie x,y \in \mathbb N spełnające nierówności \sqrt{x(\ln x +\ln \ln x)}-1 > y > \sqrt{x(\ln x+ \ln \ln x-1)}.
rochaj
http://www.matematyka.pl/368831.htm

73. Odcinki w trójkącie
Cytuj:
Niech D będzie punktem na boku BC trójkąta ABC tak że AD>BC. Punkt E na CA taki że \frac{AE}{EC}=\frac{BD}{AD-BC}. Pokaż że AD>BE .
rochaj
http://www.matematyka.pl/361521.htm

74. Ciekawa suma cyfr
Cytuj:
Udowodnić, że w każdym systemie k-kowym, gdzie k>1 dla każdej liczby a całkowitej dodatniej i względnie pierwszej z k-1 istnieje takie m, że każda liczba całkowita większa od m jest sumą cyfr jakiejś wielokrotności a (w tym systemie).
jakub_jabulko
http://www.matematyka.pl/337731.htm

75. Objętość części wspólnej
Cytuj:
Niech SABC będzie czworościanem o objętości 1, G -środek ciężkości trójkata ABC, O - środek odcinka SG. Niech S'A'B'C' będzie obrazem w symetrii środkowej SABC względem O. Oblicz objętość części wspólnej SABC oraz S'A'B'C'.
rochaj
http://www.matematyka.pl/340494.htm

76. Inna funkcja okresowa
Cytuj:
Udowodnić, że funkcja spełniająca dla każdego x\in \RR warunek f(x+1)= \frac{1+f(x)}{1-f(x)} jest okresowa.
Rabbitvon
http://www.matematyka.pl/386664.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika mol_ksiazkowy.


77. Zmiany w trójce
Cytuj:
Mamy X= \{ 3, 4, 12 \} i jeśli jakieś a , b \in X to można je zamienić na 0,6a -0,8b i 0,8a +0,6b. Czy można
zamienić przez takie zamiany X na zbiór Y= \{ 4, 6, 12 \} ?
Ukryta treść:    
mol_ksiazkowy
http://www.matematyka.pl/393381.htm
Cytuj:
Problem rozwiązany przez użytkownika Marcin7Cd.


78. Podzielność w liczbach naturalnych
Cytuj:
Znajdź wszystkie liczby naturalne a, b takie że oba wyrażenia \frac{a^{3}+b}{b^{3}-3a} oraz \frac {b^{3}+a}{a^{3}-3b } są naturalne
robin5hood
http://www.matematyka.pl/204262.htm

79. Kwadrat liczby
Cytuj:
Znależć wszystkie liczby naturalne n takie że 2(n^2+n-1)^2+7 jest kwdratem liczby naturalnej.
Wiadomo że 1 i 4 pasują ale czy są jeszcze inne a może już nie ma ?
alfred0
http://www.matematyka.pl/403906.htm

80. Suma liczbą trójkątną
Cytuj:
Niech a\ge 1 będzie liczbą naturalną.
Oznaczmy S(n)=1+a+a^2+a^3+...+a^n dla n=1,2,3,...
Udowodnij, że jeśli S(n) jest liczbą trójkątna dla każdego n \in Z_{+}, to a=9
Marcin7Cd
http://www.matematyka.pl/399571.htm

81. Całkowite potęgi
Cytuj:
Czy istnieje taka liczba nienaturalna x, że 2^{x}, 3^{x} są naturalne?
ElEski
http://www.matematyka.pl/415582.htm

82. Siódemka z teorii liczb; układ równań
Cytuj:
Udowodnij, że układ
\begin{cases}x^{6}+x^{3}+x^{3}y+y=147^{157} \\
x^{3}+x^{3}y+y^{2}+y+z^{9}=157^{147} \end{cases}
nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych x, y, z.
Elayne
http://www.matematyka.pl/408640.htm

83. Dwa wielomiany zespolone
Cytuj:
Niech f, g będą niestałymi wielomianami o zespolonych współczynnikach. Załóżmy, że f^{-1}(k) = g^{-1}(k) dla k = 0, 1. Czy f \equiv g?
Takahashi
http://www.matematyka.pl/423716.htm
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Probabilistyka][Kombinatoryka] Łatwe problemy  ElEski  3
 [MIX][Kombinatoryka] problemy kombinatoryczne-liga agh  exupery  16
 Jakby ktoś miał problemy z lsass...!  Aleksandra  2
 Ułamek piętrowy, problemy z przekształceniem  mateusz9206  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl