szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 13 sie 2008, o 14:03 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1495
Lokalizacja: Kraków
Wartość oczekiwana zmiennej losowej




Poniżej postaram się sumarycznie przedstawić informacje dotyczące wartości oczekiwanej z jakimi osobiście spotkałem się czytając najróżniejsze książki do rachunku prawdopodobieństwa. Będzie to takie encyklopedyczne podejście, w którym zbiorę dostępne wiadomości o wartości oczekiwanej w jednym miejscu, jeśli ktoś poszukuje dowodów to najlepiej sięgnąć po stosowną literaturę.



\hline



Wartość oczekiwaną możemy intuicyjnie rozumieć jako średnią wartość zmiennej losowej.
Gdyby prawdopodobieństwo interpretować jako masę rozłożoną na pewnym zbiorze to wartość oczekiwana będzie oznaczała środek masy prawdopodobieństwa.


Oznaczenia i formalne wprowadzenie wielkości, które pojawią się w dalszej części:

X: (\Omega, \mathcal{F}, P) \longrightarrow (R, \mathcal{B}, P^X) \hbox{ - zmienna losowa}\\ \\
P^X \hbox{ - rozkład zmiennej losowej X, miara transportowana}\\ \\
P^X(B)=PX^{-1}(B) = P(X^{-1}(B))= P(\{\omega:X(\omega) \in B\})=P(X \in B), \ \ B \in \mathcal{B}



\hline



Definicja

EX:=\int X(\omega)dP(\omega)

Powyższy fakt można także zapisać następująco:

EX=\int X(\omega)dP(\omega) = \int X(\omega) P(d \omega) = \int x dF(x)

Pierwsze dwie całki są to całki względem miary (tylko zapis inny) natomiast trzecia jest to całka Stieltjesa wg dystrybuanty.

Konwencja: gdy nie piszę po jakim zbiorze jest dana całka oznacza to, iż jest ona po całej przestrzeni.



\hline



Uwagi oraz twierdzenia


Wartość oczekiwana jest to całka, zatem własności wartości oczekiwanej są to de facto własności całki.

1. Istnienie wartości oczekiwanej

EX \hbox{ istnieje } \  \iff \  EX^+ < \infty \ \vee \ EX^- < \infty


2. Całkowalność zmiennej losowej

\hbox{X jest całkowalna } \iff EX^+ < \infty  \wedge EX^- < \infty \iff E|X| < \infty


3. Obliczanie wartości oczekiwanej dla rozkładów absolutnie ciągłych oraz dyskretnych

a) rozkład absolutnie ciągły

EX = \int_{\mathbb{R}}x f(x) dx

b) rozkład dyskretny

EX = \sum_i x_i \cdot P(X=x_i)


4. Obliczanie wartości oczekiwanej za pomocą dystrybuanty

a) wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej

Z: X \geqslant 0 \\ \\
T: EX = \int_0^{+ \infty}(1-F(t))dt

b) ogólniej można napisać wzór na k-ty moment zwykły nieujemnej zmiennej losowej

Z: X \geqslant 0 \\ \\
T: EX^k = k \int_0^{+ \infty}t^{k-1}(1-F(t))dt


5. Monotoniczność

Z: X \geqslant Y \hbox{ prawie wszędzie} \\ \\
T: EX \geqslant EY


6. Nierówność Jensena

Z: \varphi \hbox{ funkcja wypukła; } X, \varphi(X) - \hbox{ całkowalne}\\ \\
T: E \varphi(X) \geqslant \varphi(EX)


7. Nierówność Höldera

Z: p, q \geqslant 1 \ \ \ \wedge \ \ \ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\\ \\
T: E|XY| \leqslant \left( E|X|^p \right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left( E|Y|^q \right)^{\frac{1}{q}}


8. Nierówność Cauchy'ego - Schwarza

Z: p=q=2\\ \\
T: E|XY| \leqslant \sqrt{ E|X|^2 \cdot  E|Y|^2}


9. Lemat Fatou

Z: (X_n) \hbox{ - ciąg nieujemnych zmiennych losowych} \\ \\
T: E \left(\liminf_{n \to \infty} X_n \right)  \leqslant \liminf_{n \to \infty} EX_n


10. Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej

Z: (X_n) \hbox{ - niemalejący ciąg nieujemnych zmiennych losowych} \\ \\
T: E \left(\lim_{n \to \infty} X_n \right) = \lim_{n \to \infty} EX_n


11. Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej

Z: (X_n) \hbox{ ciąg takich zmiennych losowych, \.{z}e } |X_n| \leqslant Z \hbox{ dla pewnej ca\l kowalnej zmiennej losowej } Z \\ \\
T: E \left(\lim_{n \to + \infty} X_n \right) = \lim_{n \to \infty} EX_n



\hline
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wartość oczekiwana zmiennej losowej - zadanie 2  Sokół  1
 wartosc oczekiwana zmiennej losowej - zadanie 3  stefan81  4
 wartość oczekiwana zmiennej losowej - zadanie 4  mateus_cncc  23
 Wartość oczekiwana zmiennej losowej - zadanie 5  ahk1986  1
 Wartość oczekiwana zmiennej losowej - zadanie 6  piti-n  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl