szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 27 lip 2008, o 14:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1495
Lokalizacja: Kraków
Wstęp




Sądzę że warto zebrać w jednym miejscu powiązania między różnymi rozkładami prawdopodobieństwa. Często w zadaniach są potrzebne różne zależności i dobrze jest je mieć wszystkie razem dlatego też poniżej wypiszę te, z których osobiście korzystałem oraz te które są mi znane. Do niektórych postaram się dopisać dowody podanych zależności, w miarę upływu czasu powinno ich być coraz to więcej.

Wszędzie poniżej zakładam, że zmienne losowe, które występują w założeniach są niezależne.



\hline



I Rozkład Bernoulliego (zero-jedynkowy)


1. Suma zmiennych o rozkładzie zero-jedynkowym ma rozkład dwumianowy.

Z: X_1, \ldots, X_n \sim \mathcal{B}(1,p)

T: \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{B}(n,p)



\hline



II Rozkład chi-kwadrat


1. Rozkład chi-kwadrat jako szczególny przypadek rozkładu gamma.

Z: X \sim \chi^2_n

T: X \sim \Gamma \left(\frac{n}{2},2 \right)



\hline



III Rozkład dwumianowy


1. Suma zmiennych o rozkładzie dwumianowym ma rozkład dwumianowy.

Z: X \sim \mathcal{B}(n,p) \ \ \wedge \ \  Y \sim \mathcal{B}(m,p)

T: X+Y \sim \mathcal{B}(n+m,p)



\hline



IV Rozkład F Snedecora


1. Odwrotność zmiennej o rozkładzie F ma rozkład F.

Z: X \sim \mathcal{F}(\nu_1, \nu_2)

T: \frac{1}{X} \sim \mathcal{F}(\nu_2, \nu_1)

2. Odpowiedni iloraz zmiennych o rozkładach F ma rozkład beta.

Z: X \sim \mathcal{F}(\nu_1, \nu_2)

T: \frac{\nu_1 \frac{X}{\nu_2}}{1+\nu_1 \frac{X}{\nu_2}} \sim \mathcal{B}e(\frac{\nu_1}{2}, \frac{\nu_2}{2})



\hline



V Rozkład geometryczny


1. Suma zmiennych o rozkładzie geometrycznym ma rozkład ujemny dwumianowy.

Z: X_1, \ldots, X_r \sim \mathcal{G}e(p)

T: \sum_{i=1}^r X_i \sim \mathcal{NB}(r,p)



\hline



VI Rozkład jednostajny ciągły


1. Standardowy rozkład jednostajny jako szczególny przypadek rozkładu beta.

Z: X \sim U[0,1]

T: X \sim \mathcal{B}e(1,1)

2. Nieco zmodyfikowany logarytm naturalny zmiennej o standardowym rozkładzie jednostajnym ma rozkład wykładniczy.

Z: X \sim U[0,1] \ \ \wedge \ \  \lambda > 0

T: -\frac{\ln X}{\lambda} \sim Exp(\lambda)

Dowód:    




\hline



VII Rozkład normalny


1. Iloraz standardowych zmiennych normalnych ma rozkład Cauchy'ego.

Z: X, Y \sim \mathcal{N}(0,1)

T: \frac{X}{Y} \sim \mathcal{C}(0,1)

2. Suma kwadratów standardowych zmiennych normalnych ma rozkład chi-kwadrat.

Z: X_1, \ldots, X_n \sim \mathcal{N}(0,1)

T: X_1^2 + \ldots + X_n^2 \sim \chi^2_n

3. Pierwiastek z sumy kwadratów dwóch zmiennych normalnych ma rozkład Rayleigha.

Z: X, Y \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)

T: \sqrt{X^2+Y^2} \sim \mathcal{R}a(\sigma^2)

4. Funkcja ekspotencjalna zmiennej normalnej ma rozkład logarytmiczno-normalny.

Z: X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)

T: e^X \sim \mathcal{LN}(\mu, \sigma^2)



\hline



VIII Rozkład t Studenta


1. Definicja rozkładu.

Z: X \sim \mathcal{N}(0,1) \ \ \wedge \ \ Y \sim \chi^2_k

T: \frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{k}}}} \sim t_k

2. Kwadrat zmiennej o rozkładzie t ma rozkład F.

Z: X \sim t_n

T: X^2 \sim F(1,n)



\hline



IX Rozkład wykładniczy


1. Rozkład wykładniczy jako szczególny przypadek rozkładu gamma.

Z: X \sim Exp(\lambda)

T: X \sim \Gamma(1, \lambda)

2. Suma zmiennych wykładniczych ma rozkład gamma.

Z: X_1, \ldots, X_n \sim Exp(\lambda) \sim \Gamma(1, \lambda)

T: \sum_{i=1}^n X_i \sim \Gamma(n, \lambda)

3. Rozkład wykładniczy jako szczególny przypadek rozkładu Erlanga.

Z: X \sim Exp(\lambda)

T: X \sim \mathcal{E}r(1, \lambda)

4. Rozkład wykładniczy jako szczególny przypadek rozkładu Weibulla.

Z: X \sim Exp(\lambda)

T: X \sim \mathcal{W}e(1, \lambda)

5. Rozkład wykładniczy jako szczególny przypadek rozkładu ujemnego wykładniczego.

Z: X \sim Exp(\lambda)

T: X \sim NExp(0, \lambda)

6. Minimum zmiennych wykładniczych ma rozkład wykładniczy.

Z: X_i \sim Exp(\lambda_i), \ \ i=1, \ldots, n

T: \min \{X_1, \ldots, X_n \} \sim Exp(\lambda_1 + \ldots + \lambda_n)

7. Pierwiastek ze zmiennej wykładniczej ma rozkład Rayleigha.

Z: X \sim Exp(\lambda)

T: \sqrt{\frac{2X}{\lambda}} \sim \mathcal{R}a(\frac{1}{\lambda})



\hline



X Rozkład Cauchy'ego


1. Rozkład Cauchy'ego jako szczególny przypadek rozkładu t.

Z: X \sim \mathcal{C}(0,1)

T: X \sim t_1



\hline



XI Rozkład Poissona


1. Suma zmiennych o rozkładzie Poissona ma rozkład Poissona.

Z: X \sim \mathcal{P}(\lambda_1) \ \ \wedge \ \  Y \sim \mathcal{P}(\lambda_2)

T: X+Y \sim \mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2)

Dowód:    




\hline


XII Rozkład Pareto


1. Logarytm naturalny zmiennej o rozkładzie Pareto ma rozkład ujemny wykładniczy.

Z: X \sim \mathcal{P}a(x_0, \alpha)

T: \ln (X) \sim NExp(\ln (x_0), \alpha)

Rozkład ujemny wykładniczy jest to zwykły rozkład wykładniczy przesunięty w (tym przypadku) o \ln (x_0) w prawo.

Dowód:    




\hline
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Odległość dwóch punktów w zależności od parametru.  sebol__14  8
 Wykres zależności energi potencjalnej  Nad.  1
 Odległość między źródłami a długość fali - zadanie 2  AndrzejK  5
 Wybierz najmniej i najbardziej korzystne oprocentowanie  m_1922  3
 najmniejsza odległość między prostą a parabolą  szymek12  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl