szukanie zaawansowane
 [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1, 2
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 3 cze 2007, o 12:24 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Śląsk
Witam! Podczas szukania w internecie zadanek matematycznych trafiłem tu http://www.om.edu.pl/omg/zadania/omg01_2.pdf - zadania z II etap I OMG. Niestety - na razie pokonałem tylko zadanie 1 i 3 :/. Byłbym wdzięczny za jakiekolwiek wskazówki dotyczące rozwiązania pozostałych zadań - na stronie nie zamieścili rozwiązań, więc nie wiem, jak to ugryźć. Jestem nowy na forum i chodzę do II gimnazjum, więc nie zabijajcie :mrgreen:
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 cze 2007, o 14:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
W takim razie ad 4:
Dla n=1 otrzymujemy 14-9=5, a 5 jest liczbą pierwszą.
Dla n=2 mamy 14^2 - 9=187=11 \cdot 17
Dla n=3 mamy 14^3 - 9=2735=5 \cdot 547
Dla n=4 mamy 14^4 -9=38407=193 \cdot 199

Przypuszczamy więc, że dla wszystkich nieparzystych liczb naturalnych n=2k-1 zachodzi 5| 14^n - 9. Można dowodzić tej podzielności indukcyjnie, ale szybciej będzie korzystając z kongruencji. Mamy:
14 \equiv -1 (mod\ 5) \\ 14^{2k-1} \equiv (-1)^{2k-1} \equiv -1 (\mod 5) \\ 14^{2k-1} -9 \equiv -1-9=-10 \equiv 0 (mod\ 5)
Niestety dla parzystych liczb naturalnych n=2k nie widzimy żadnej podzielności. Ale przecież mamy wzory skróconego mnożenia, z których skorzystamy:
14^{2k} - 9=(14^k)^2 - 3^2= (14^k -3)(14^k +3)
Ponieważ 1< 14^k - 3< 14^k +3, więc liczba 14^{2k} - 9 ma co najmniej dwa dzielniki większe od jedności, więc nie jest pierwsza.
Ostatecznie dostajemy, że jedynie dla n=1 liczba 14^n - 9 jest pierwsza.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 cze 2007, o 14:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1094
Lokalizacja: Olesno
zadanie 2.
zauwazmy ze wsrod 111 liczb znajdzie sie conajmniej 11 takich, ktore daja ta sama reszte z dzielenie przez 11, (zasada szufladkowa dirichleta)
oznaczajac te liczby kolejno:
a_1 = 11 k_1 + b \\ 
a_2 = 11 k_2 + b \\ 
\ \ \ \ \ \ . \ . \ . \ . \ . \\ 
a_{11} = 11 k_{11} + b \\ 
a_1+a_2+...+a_{11} = 11 k_1 + 11k_2 + ...+ 11k_{11} + 11b = 11(k_1+k_1+...+k_{11}+b) \\
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 cze 2007, o 14:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Ad 2:
Troszkę inaczej, niż zrobił to przemk20 . Niech a_{1}, a_{2}, a_{3}, ... ,a_{11} będą liczbami całkowitymi. Rozważmy liczby:
0,a_{1}, a_{1}+a_{2}, a_{1}+a_{2}+a_{3},... , a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+... +a_{10}+a_{11}
Ponieważ liczb tych jest dwanaście, więc pewne dwie spośród nich dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 11. Teraz wystarczy rozważyć ich różnicę, która jest podzielna przez 11.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 cze 2007, o 19:59 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Śląsk
Wielkie dzięki :mrgreen: Teraz już kapuje, o co chodziło. Co do zadania 5 - jak byście to zrobili?? Ja sobie narysowałem kwadrat i potem z tresci polecenia naniosłem ten sześciokąt i znalazłem odcinki tej samej długości - ale nie jestem czy dobrze zrobiłem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1, 2


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dyskusja rozwiązalności w zależności od parametrów a i b.  dawido000  12
 Losowanie liter - dyskusja opcji kolejności - zadanie 2  wyderek  9
 [dyskusja] Ile arkuszy?  Anonymous  1
 Dyskusja błędu - przyśpieszenie ziemskie  grzesiek_re  1
 [IMC 2016] Zadania / wyniki / dyskusja  dec1  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl