szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 14 maja 2008, o 22:07 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Łódź
1. \sum_{n=2}^{ \infty }  \frac{1}{n \cdot ln ^{1+s}(n) }
2. \sum_{n=3}^{ \infty }  \frac{1}{n \cdot lnn \cdot lnln(n)}
3.\sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{1}{(n+1) \cdot ln ^{2} (n+1)  }
4. \sum_{n=2}^{ \infty }  \frac{1}{ \sqrt{n}} ln( \frac{n+1}{n-1})

jak to zrobić?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 maja 2008, o 22:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
to chyba trzeba całki obliczać. np. w 1.
\int_2^{+\infty} \frac{dx}{x\cdot\ln^{1+s}(x)} tu chyba się podstawia \ln(x)=t,\ \frac{dx}{x}=dt. całka (nieoznaczona) przechodzi w całkę \int\frac{dt}{t^{1+s}}. po obliczeniu wracamy do starej zmiennej i obliczamy granicę w +oo.

ten sam trik pójdzie w 2 (podstawienie t=ln(ln(x))) i 3.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 14 maja 2008, o 23:21 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Łódź
no dobra, a co z 4? co tam podstawic czy jak to rozwiazac?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 maja 2008, o 06:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
w 4 to ja bym porównawcze zastosował. starczy zauważyć, że \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{2}{n-1})}{\frac{1}{n}}=2. dlaczego tak jest? bo pochodna funkcji \ln(1+2x) w 0 jest równa 2, a ta pochodna to nic innego jak granica \lim{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{x}. biorąc x=1/(n-1) otrzymujemy \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{2}{n-1})}{\frac{1}{n-1}}=2, ale przecież \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{2}{n-1})}{\frac{1}{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{2}{n-1})}{\frac{1}{n}}

dlatego nasz szereg jest porównywalny z harmonicznym rzędu 3/2 i dlatego zbieżny.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbieżność szeregów - kryterium całkowe - zadanie 2  patricia_  2
 zbiezność szeregów - kryterium całkowe  patricia__  14
 Kryterium porównawcze - zadanie 2  Triton  2
 zbieżność szeregów - zadanie 25  ineczkaaa  2
 Zbadać zbieżność szeregu na podstawie def.  ugabuga333  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl