szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lut 2008, o 00:05 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1495
Lokalizacja: Kraków
Rozpocznę swój wywód od pewnej ciekawostki, otóż...

Interesującą informacją jest fakt, iż z drugiego lematu Borela - Cantelliego wynika, że gdyby małpa potrafiła wciskać całkowicie losowo klawisze klawiatury oraz robiła to nieskończenie wiele razy to z prawdopodobieństwem 1 napisze ona w ten sposób Hamleta (i to nieskończenie wiele razy!). Dowód pozostawiam czytelnikowi.
O twierdzeniu, które pozwala wysnuwać tak śmiałe wnioski poniżej... Mile widziana znajomość analizy oraz rachunku prawdopodobieństwa na odpowiednim poziomie.



\hline



Definicje granic ciągów zdarzeń



1. Granica górna

\limsup_{n \to \infty} A_n:=\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \bigcup_{k \geqslant n} A_k = \{\omega: \bigwedge_{n \in \mathbb{N}} \bigvee_{k \geqslant n} \omega \in A_k\}

Intuicyjnie rzecz ujmując granica górna ciągu zdarzeń jest to zbiór omeg należących do nieskończenie wielu A_n.


2. Granica dolna

\liminf_{n \to \infty} A_n:=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcap_{k \geqslant n} A_k = \{\omega: \bigvee_{n \in \mathbb{N}} \bigwedge_{k \geqslant n} \omega \in A_k\}

Intuicyjnie rzecz ujmując granica dolna ciągu zdarzeń jest to zbiór omeg należących do prawie wszystkich A_n.



\hline



Lematy Borela - Cantelliego



1. Pierwszy lemat Borela - Cantelliego

Założenia:

\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)<\infty

Teza:

P(\limsup_{n \to \infty} A_n)=0

Czyli prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu zdarzeń A_n wynosi 0.

Dowód:    



2. Drugi lemat Borela - Cantelliego

Założenia:

(A_n) - ciąg niezależnych zdarzeń

\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)=\infty

Teza:

P(\limsup_{n \to \infty} A_n)=1

Czyli prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu zdarzeń A_n wynosi 1.

Dowód:    




\hline
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Formalny zapis w oparciu o lemat borela canteliego  maris21  1
 Sumowalność Borela  ziomakpoziomka  5
 Transformacja Laplace'a i Tw. Borela w RR  mbyron95  10
 Sformułowanie twierdzenia Heinego-Borela  JakimPL  3
 [dyskusja] Jakie lematy potrzebne do OM?  Arek  17
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl