szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 5 lut 2008, o 13:00 
Użytkownik

Posty: 256
Lokalizacja: Wrocek
Mam takie zadanie:

Czy te dwa systemy algebraiczne są izomorficzne:

A= (Q,+,  \cdot ) \\
B= (Q,  \cdot  , +)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 lut 2008, o 11:55 
Użytkownik

Posty: 9834
Lokalizacja: Bydgoszcz
Oczywiście nie - gdyby istniał izomorfizm h, to byłoby:
h(x+y)=h(x)  \cdot h(y) \\
h(x \cdot y) = h(x) +h (y)
Podstawiając w pierwszej równości y=0 dostajemy, że h(0)=1, podstawiając w drugiej równości x=y=0 otrzymujemy 1=2, czyli sprzeczność.

Q.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 lut 2008, o 14:09 
Użytkownik

Posty: 256
Lokalizacja: Wrocek
, jakoś nie do końca mogę to "zobaczyć". Otóż nie mamy żadnego odwzorowania tych systemów(przynajmniej podanego w treści), co prawda przy dowolnych podstawieniach wychodziło mi, że izomorfizm nie istnieje, to jednak przedstawione rozwiązanie nie jest dla mnie do końca zrozumiałe.

Mógłbyś to bardziej rozpisać? W sensie bardziej łopatologicznym, bo nie do końca to rozumiem.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 lut 2008, o 14:24 
Użytkownik

Posty: 9834
Lokalizacja: Bydgoszcz
Systemy są izomorficzne wtedy i tylko wtedy kiedy istnieje izomorfizm między nimi. Założenie o istnieniu takiego izomorfizmu doprowadziło do sprzeczności, zatem ów izomorfizm nie istnieje, czyli systemy nie są izomorficzne. Nie wiem co tu jest niejasnego.

Q.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 lut 2008, o 18:34 
Użytkownik

Posty: 256
Lokalizacja: Wrocek
To rozumiem, chodzi mi o to podstawienie za y=0, że h(0)=1. Tego nie czaję...

Mam nadzieję, że teraz rozumiesz o co dokładnie mi chodzi :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 lut 2008, o 21:11 
Użytkownik

Posty: 9834
Lokalizacja: Bydgoszcz
Szczerze mówiąc nie wiem czego nie rozumiesz. Nie rozumiesz dlaczego można podstawić? Nie rozumiesz dlaczego z podstawienia wynika, że h(0)=1?

Q.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 lut 2008, o 22:23 
Użytkownik

Posty: 256
Lokalizacja: Wrocek
, no chodziło właśnie o to skąd h(0)=1, jednak poprzyglądałem się dokładnie temu wszystkiemu no i wiem, że to jest punkt konieczny istnienia izomorfizmu. A więc teraz już wszystko jasne, dzięki za pomoc!
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 lut 2008, o 14:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1145
Lokalizacja: z Konopii
Qń napisał(a):
Nie rozumiesz dlaczego można podstawić? Nie rozumiesz dlaczego z podstawienia wynika, że h(0)=1?
Prawdę mówiąc ja też nie rozumiem, dlaczego to tak wprost wynika? Tj. dlaczego opuszczasz tak bezkarnie drugie rozwiązanie, tj. h(0)=0?

[ Dodano: 12 Lutego 2008, 14:20 ]
Moim zdaniem lepiej jest podstawić x,y=1 do drugiego równania, skąd otrzymuje się od razu (jedyne!) rozwiązanie h(1)=0. wstawiając ponownie x,y=1 do pierwszego równania dostajemy h(2)=h(1)^2=0=h(1) co daje sprzeczność z różnowartościowością izomorfizmu...

[ Dodano: 12 Lutego 2008, 14:24 ]
Aha, chyba rozumiem... otrzymujesz r-nie h(x)=h(x)\cdot h(0), które ma być prawdziwe dla wszystkich x (które nota bene nie mogą być wszystkie przeciwobrazem 0). Stąd h(0)=1


...ale i tak myślę, że mój sposób jest prostszy... :mrgreen:
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 lut 2008, o 14:35 
Użytkownik

Posty: 9834
Lokalizacja: Bydgoszcz
Mamy (dla dowolnego x) h(x)=h(x) \cdot h(0). Ponieważ h jest w szczególności bijekcją, to znajdziemy x takie, że h(x) \neq 0 (tak naprawdę, to znajdziemy ich dzikie mnóstwo, bo tylko dla jednej liczby nasz izomorfizm może przyjąć wartość zero), a stąd h(0)=1.

Zarówno powyższej równości, jak nieistnienia rzeczonego izomorfizmu można dowodzić na wiele sposobów (choć wszystkie w jakimś sensie są "wariacją na temat"). Identycznym argumentem jest na przykład taki, że z drugiej równości wynika, że h(0)=0, a wówczas z pierwszej równości wynika, że h(x)=0 dla dowolnego x, czyli sprzeczność.

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zdejmowanie książek z półki, ale bez dwóch kolejnych  vtvs  3
 Rekurencja z mnożeniem dwóch poprzednich wyrazów  Konikov  2
 Kowariancja. Suma dwóch zmiennych.  wielkidemonelo  3
 Wyznacz n i k dwóch zbiorów o różnej liczbie permutacji  secesjonista  7
 kombinatoryka, losowanie trójek z dwóch klas liceum  zuzek07  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl