szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 30 sty 2008, o 03:08 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Autor: Sylwek

Funkcja charakterystyczna zbioru to jedno z kluczowych pojęć matematycznych, o szczególnym zastosowaniu w teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych. Często spotykaną funkcją charakterystyczną jest funkcja Dirichleta (funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych - została ona poniekąd opisana na końcu tego artykułu).


Definicja:
Niech X będzie ustalonym zbiorem i niech A \subseteq X. Funkcją charakterystyczną zbioru A nazywamy funkcję f_A:X\to\{0,1\} zadaną wzorem

f_{A}(x)=\begin{cases}1, \ x \in A \\ 0, \ x \notin A \end{cases}


Tyle nam wystarczy do udowadniania równości zbiorów ;) . Przyjmuję, że w dalszej części będą obowiązywały następujące oznaczenia: a=f_{A}(x), \ b=f_{B}(x) itp. oraz będę pisał f_{A} zamiast f_{A}(x).


Jeszcze 5 ważniejszych twierdzeń, które nam ułatwią późniejsze obliczenia:


1) f_{A}^2=f_{A} - najefektywniejsze i najefektowniejsze ;)

Dowód:
a) \ f_{A}=0 \\ L_{T}=0=f_{A}^2=f_{A}=0=P_{T} \\ b) \ f_{A}=1 \\ L_{T}=1=f_{A}^2=f_{A}=1=P_{T}




2) f_{A \cap B}=f_{A} \cdot f_{B}

Dowód:
f_{A} \cdot f_{B}=1 \iff f_{A}=1 \wedge f_{B}=1 \iff x \in A \wedge x \in B \iff \\ x \in A \cap B \iff f_{A \cap B}=1




3) f_{A \cup B}=f_{A} + f_{B} - f_{A} \cdot f_{B}

Dowód:
a) \ x \in A \cap B \\ L_{T}=f_{A \cup B}=1=1+1-1=f_{A} + f_{B} - f_{A} \cdot f_{B}=P_{T}
b) x należy do jednego ze zbiorów, bez straty ogólności:
x \in A \wedge x \notin B \\ L_{T}=f_{A \cup B}=1=1+0-0=f_{A} + f_{B} - f_{A} \cdot f_{B}=P_{T} \\ c) \ x \notin A \cup B \\ L_{T}=f_{A \cup B}=0=0+0-0=f_{A} + f_{B} - f_{A} \cdot f_{B}=P_{T}




4) f_{A  \setminus  B}=f_{A} \cdot (1-f_{B})

Dowód:
f_{A  \setminus  B}=f_{A \cap B'}=f_{A} \cdot f_{B'}=f_{A} \cdot (1-f_{B})




5) f_{A \Delta B}=f_{A}+f_{B}-2 \cdot f_{A} \cdot f_{B}
Dowód:
Zacznijmy od tego, że A \Delta B=(A  \setminus  B) \cup (B  \setminus  A) i nazywamy to różnicą symetryczną zbiorów A i B
f_{A \Delta B}=f_{(A  \setminus  B) \cup (B  \setminus  A)}=a(1-b)+b(1-a)-a(1-b)b(1-a)= \\ =a-ab+b-ab-ab(1-a-b+ab)=a+b-2ab-ab+a^2b+ab^2-a^2b^2= \\ =a+b-3ab+2ab-ab=a+b-2ab






Przykład 1.
Udowodnij równość zbiorów:
A \cup B = (A  \setminus  B) \cup B

Dowód:
f_{A \cup B}=a+b-ab \\ f_{(A  \setminus  B) \cup B}=f_{A  \setminus  B} + f_{B} - f_{A  \setminus  B} \cdot f_{B}=a(1-b)+b-a(1-b) \cdot b= \\ =a-ab+b-ab+ab^2=a+b-2ab+ab=a+b-ab=f_{A \cup B}




Dla przećwiczenia:

Zadanie 1.
Udowodnij równość zbiorów:
A  \setminus  B=(A \cup B)  \setminus  B

Zadanie 2.
Udowodnij równość zbiorów:
A  \setminus  (B \cap C)=(A  \setminus  B) \cup (A  \setminus  C)

Zadanie 3*.
Udowodnij zawieranie się zbiorów:
A \cup (B \Delta C) \supset (A \cup B) \Delta (A \cup C)
(Podpowiedź: A \supset B \iff f_{a} \geq f_{b})


Zadania dla przećwiczenia zaczerpnięte z książki Impresje liczbowe. Od cyfry do szeregu, autor: Lev Kourliandtchik.



---------------

Autor: PFloyd

Poniżej zaprezentuję dowód, że: |P(\mathbb{N})|=\mathfrak{c}, korzystajacy właśnie z funkcji charakterystycznych zbiorów (funkcję charakterystyczna zbioru A będę oznaczał \chi_A):

Pierwsza część dowodu to znalezienie injekcji między \mathbb{R} i zbiorem P(\mathbb{Q}), bo oczywiście |P(\mathbb{Q})|=|P(\mathbb{N})|.
Taką injekcje możemy skonstruować w prosty sposób:
\mathbb{R}\ni x \rightarrow (- \infty, x) \cap \mathbb{Q} \in P(\mathbb{Q})

Injekcja z P(\mathbb{N}) w \mathbb{R} wygląda tak:
P(\mathbb{N})\ni A \rightarrow \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\chi_A (n)}{10^n}\in \mathbb{R}
przy czym \chi_A(n)=\left\{\begin{array}{l} 0, \, n\in\mathbb{N} -A\\ 1, \, n\in A\end{array}

i teraz pozostaje udowodnić indukcjynie, że istotnie jest to injekcja, czyli że:
\forall _n \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\chi_A (n)}{10^n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\chi_B (n)}{10^n} \Rightarrow \chi_A(n)=\chi_B(n) bo oczywiście A=\chi_A ^{-1}(\{1\})\wedge B=\chi_B ^{-1}(\{1\})

Dowód:
k=0 \\
\chi_A(0)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi_A (n)}{10^n}=\chi_B(0)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi_A (n)}{10^n}
Stąd \chi_A(0)=\chi_B(0) bo oczywiście \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi_A (n)}{10^n} \leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{10^n}=\frac{1}{9}

0,...,k \rightarrow k+1
ponieważ \chi_A(0)=\chi_B(0) \wedge \chi_A(k)=\chi_B(k) to
\sum_{n=k+1}^{\infty}\frac{\chi_A (n)}{10^n}=\sum_{n=k+1}^{\infty}\frac{\chi_B (n)}{10^n} \, \, / \cdot 10^{k+1}\\
\chi_A(k+1)+\sum_{n=k+2}^{\infty}\frac{\chi_A (n)}{10^{n-k-1}}=\chi_B(k+1)+\sum_{n=k+2}^{\infty}\frac{\chi_B (n)}{10^{n-k-1}}
i z tego samego powodu co w pierwszym kroku indukcyjnym, \chi_A(k+1)=\chi_B(k+1)



-----



Autor: mol_ksiazkowy

Kilka słów o funkcji Dirichleta:
D(x)=\begin{cases}1, &x \in \QQ \\ 0, &x \notin \QQ \end{cases}
Ma ona takie właściwości:
- Nie ma punktu, w którym była by ona ciągła
- Nie ma nigdzie granicy
- Funkcja x \mapsto xD(x) jest ciągła w zerze i tylko w zerze
- funkcja x \mapsto x^{2}D(x) jest różniczkowalna tylko w zerze
- Każda liczba wymierna jest okresem funkcji D(x), żadna liczba niewymierna nie jest okresem D(x).
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 funkcja charakterystyczna zbioru - zadanie 2  lampa123  3
 funkcja dówch zmiennych - pochodnymi przyrównanymi do ze  Anonymous  5
 Otwartość zbioru, ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej.  Anonymous  16
 Funkcja kwadratowa z parametrem.  Anonymous  1
 Funkcja kwadratowa-wyznaczyć wzór.  apacz  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl