szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
PostNapisane: 10 maja 2005, o 23:07 
Użytkownik
Witam

Mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania, a właściwie kilku podpunktów w nim zawartych... arytmetyka modularna strasznie cieżko mi idzie:(
Z góry dziękuje za wszelkie podpowiedzi i wskazówki

:arrow:
Niech G(n) = \{ a : a \in Z^*_n, \  (\frac{a}{n}) \equiv a^{(n-1) / 2} \  (mod \ n) \}
Wykaż, że G(n) jest podgrupą grupy Z^*_n i wywnioskuj stąd, że | G(n) | \leq  \frac{n-1}{2}
(tutaj nie wiem jak pokazac ze dla każdego a z G(n) istnieje element odwrotny i jak udowodnic ta nierowność)

:arrow:
Załóżmy, że n = p^kq gdzie p i q są liczbami nieparzystymi, p jest liczba pierwszą, k \geq 2 oraz NWD(p,q) = 1. Niech a \ = \ 1 \ + \ p^{k-1}q.
Udowodnij, że (\frac{a}{n}) \not \equiv a^{(n-1) / 2} \  (mod \ n)

:arrow:
Niech n \ = \ p_1p_2...p_k, gdzie p_i są różnymi liczbami pierwszymi. Niech a \ \equiv \ u \ mod \ p_1 oraz a \ \equiv \ 1 \ mod \ p_2...p_k,
gdzie u jest nieresztą kwadratową modulo p_1 (takie a istnieje na mocy chińskiego twierdzenia o resztach).
Wykaż, że:
(\frac{a}{n}) \equiv -1 \  (mod \ n) lecz a^{(n-1) / 2} \equiv 1 \  (mod \ n) a zatem a^{(n-1) / 2} \not \equiv 1 \  (mod \ n)

Pomocne linki (mi za bardzo nie pomogły;):
Symbol Lagendre'a i jego uogólnienie - Symbol Jacobiego
Reszta kwadratowa
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 10 maja 2005, o 23:56 
Użytkownik

Posty: 453
2)
symbol jacobiego jest multiplykatywny tzn:
({a\over bc})=({a\over b})({a\over c})
co za tym idzie:
({a \over n})=({a \over p})^k({a\over q})=1
bo a \equiv 1 \pmod {pq}
z drugiej strony z dwumianu newtona po wywalwniu liczb podzielnych przez n mamy:
(1+p^{k-1}q)^{(n-1)/2}\equiv 1+{(n-1)/2}*p^{k-1}q \pmod n
jak ze mamy ze (p,q)=1 mozemy osobno rozpatrywac powyzsza kongruencje
wzgledem q oraz p^k
1+{(n-1)/2}*p^{k-1}q\equiv 1 \pmod q
zalozmy teraz dla dowodu niewprost ze teza jest spelniona musi byc ztem z chinskiego o resztach:
1+{(n-1)/2}*p^{k-1}q\equiv 1 \pmod {p^k}
{(n-1)}q/2\equiv 0 \pmod p
n-1=0 \pmod p
-1=0\pmod p

sprzecznosc.

troche nagmatfałem ale rozwiazanie powinno byc git
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 kilka zadań na silnie i symbol newtona  pixelka  7
 rozwiazac kongruencje  kur4s  2
 Suma a symbol Newtona  lennyh  2
 Symbol Newtona rozwiąż równania.  bcm  1
 Symbol Newtona, dowód  Kazaa  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl