szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 23 sty 2008, o 22:40 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: Kowary / Wrocław
mam dwa przykłady:
t^2 y'' + ty' - 4y = 1
t^2 y'' - ty' + y = 1
oraz odpowiednie układy fundamentalne dla równań:
t^2 y'' + ty' - 4y = 0
t^2 y'' - ty' + y = 0

podaję postać ogólną rozwiązania z C1(t) i C2(t) oraz warunek który spełniają pochodne C2'(t) i C1'(t) czyli równanie macierzy. Do macierzy po prawej stronie wstawiamy 0 na górę a na dół funkcję h(t) z danego równania różniczkowego. I tu pytanie - czy dla moich przykładów wstawiam 1 czy 1/t^2 (po podzieleniu równania przez potęge t przy y''. A jak będzie z funkcją
(3t+2t^2)y'' - 6(1+t)y' + 6y = 6? z góry dziękuje za pomoc i wytłumaczenie
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 sty 2008, o 22:57 
Gość Specjalny

Posty: 8602
Lokalizacja: Kraków
Nie bardzo rozumiem o co Ci dokładnie chodzi, dlatego przedstawię przykładowe rozwiązanie pierwszego przykładu.

Zajmijmy się wpierw przykładem pierwszym:
t^2 y'' + ty' - 4y = 1
Jest to r. r. Eulera.
Rozwiązujemy wpierwej r. jenorodne. Rozwiązanie tegoż przewidujemy w postaci:
y = t^r, skąd y' = rt^{r-1}, \quad y'' = r(r-1)t^{r-2}
Po zał. x^r \neq 0 i wstawieniu do r. jednorodnego i uproszczeniu otrzymujemy r. charakterystyczne:
r(r-1) + r - 4 = 0 \iff r = \pm 2
Zatem rozw. r. jednorodnego jest
y_1 = C_1 t^2 + C_2 t^{-2}
Następnie jako całkę szczególną równania niejednorodnego przewidujemy jakąś stałą, tj. y_2 = a. Łatwo znajdujemy, że y_2 =- \frac{1}{4}.
Ostatecznie rozwiązaniem jest:
y = C_1 t^2 + C_2 t^{-2} - \frac{1}{4}

Pewna uwaga końcowa:
Ponieważ w swoim opisie wspominasz coś o macierzach i C1(t), etc. więc mniemam, że chciałeś "zwyczajnie" rozwiązać te równania - tj. wpierw r. jednorodne, a następnie uzmiennianie stałych.
Jednak zauważ, że tutaj przy y i jej pochodnych jest zmienna t, która nieco komplikuje sprawę.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 sty 2008, o 23:21 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: Kowary / Wrocław
Ok, dzięki. Albo czegoś nie zrozumiałem na wykładzie, albo nie uczli nas takiego podejścia. Wydaje mi się, że oczekują właśnie "zwyczajnego" rozwiązania ;) jakbyś mógł mi jeszcze napisać jak poradzić sobie ze zmienną t chcąc pójść na około to byłbym wielce wdzięczny
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 sty 2008, o 23:27 
Gość Specjalny

Posty: 8602
Lokalizacja: Kraków
Hmm... ale to tzw. "zwyczajne" podjeście to stosuje się do równań postaci: ay'' + by' + cy = f(x), gdzie a, b, c to stałe.
A tu mamy do czynienia z innym typem i przy rozwiązywaniu r. jednorodnego musimy przewidywać rozw. innej postaci. Oczywiście można przy szukaniu całki szczególnej posłużyć się metodą uzmienniania stałych, ale z reguły zwykłe przewidywanie wystarcza.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 sty 2008, o 23:37 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: Kowary / Wrocław
Trochę się zamotałem, już rozumiem i racja stoi po twojej stronie ;) dzięki za naprowadzenie!

[ Dodano: 24 Stycznia 2008, 09:07 ]
A jak byłoby z rozwiązaniem równania

t^2y'' - ty' + y = 6t lnt?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znleść rozwizanie ogólne następującego równania różniczkoweg  karolina_87_  1
 Rozwiązanie asymptotyczne równania różniczkowego  Pikaczu  0
 Równania różniczkowe - zadanie 12  intel86  6
 2 proste równania rózniczkowe  rucio  2
 Równania różniczkowe - zadanie 14  Elektryk19  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl