szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
 Tytuł: okrąg
PostNapisane: 9 lis 2007, o 19:50 
Użytkownik

Posty: 78
Lokalizacja: Polska
Dany jest okrąg o środku O i promieniu 3. Z punktu P poprowadzono dwie styczne do tego okręgu w punktach M i N ( rysunek obok) . Wiedząc, że kąt MPN ma miarę 30^{o}, oblicz długośc cięciwy MN .

rysunek

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania
Z góry dziękuję
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: okrąg
PostNapisane: 9 lis 2007, o 22:28 
Użytkownik

Posty: 636
Lokalizacja: Łódź
Dorysuj sobie promienie OM i ON, i skorzystaj z tego, że styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego z punktu styczności oraz z tego, że suma kątów czworokąta PMON wynosi 360 stopni. Otrzymasz z tego, że kąt MON ma 120 stopni, czyli trójkąt MON jest trójkątem równoramiennym o ramieniu 3 i kącie między ramionami 120 stopni. Zatem MN=2\cdot3\cdot\sin(120^\circ/2)=3\sqrt3
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: okrąg
PostNapisane: 9 lis 2007, o 22:55 
Użytkownik

Posty: 78
Lokalizacja: Polska
w odpowiedzi 3 \sqrt{2+\sqrt{3}}

A kąt MON czasem nie ma 150 stopni ( to jest 360 - 90 - 90 -30 = 150 ) ?
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: okrąg
PostNapisane: 9 lis 2007, o 23:45 
Użytkownik

Posty: 636
Lokalizacja: Łódź
Słusznie. Ech, te kłopoty z odejmowaniem :-)
Zatem MN=2\cdot3\cdot\sin(150^\circ/2)=6\sin75^\circ

\sin75^\circ=\sin(150^\circ/2)=\sqrt{\frac{1-\cos150^\circ}2}=\\
=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt3}2}2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2
Stąd
MN=6\sin75^\circ=3\sqrt{2+\sqrt3}
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: okrąg
PostNapisane: 10 lis 2007, o 17:36 
Użytkownik

Posty: 78
Lokalizacja: Polska
Dzięki twoim wskazówkom policzyłem z twierdzenia cosinusów i wyszedł mi dobry wynik.
A co do twojego rozwiązania to powiedz mi

andkom napisał(a):

Zatem MN=2\cdot3\cdot\sin(150^\circ/2)=6\sin75^\circ


Z czego tutaj skorzystałeś ? z jakiego wzoru ?

andkom napisał(a):

=\sin(150^\circ/2)=\sqrt{\frac{1-\cos150^\circ}2}=


A tutaj jaki wzór zastosowałeś ? skąd pojawił się ten pierwiastek ?
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: okrąg
PostNapisane: 10 lis 2007, o 19:38 
Użytkownik

Posty: 636
Lokalizacja: Łódź
W pierwszym przypadku:
Dorysowałem naszemu trójkątowi równoramiennemu wysokość i skorzystałem z tego, że jej spodek dzieli podstawę na dwie równe części oraz z tego, że wysokość ta jest zawarta w dwusiecznej kąta między ramionami.

W drugim przypadku:
Skorzystałem ze wzoru
\left(\sin\frac{\alpha}2\right)^2=\frac{1-\cos\alpha}2
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: okrąg
PostNapisane: 10 lis 2007, o 21:27 
Użytkownik

Posty: 78
Lokalizacja: Polska
andkom napisał(a):
W pierwszym przypadku:
Dorysowałem naszemu trójkątowi równoramiennemu wysokość i skorzystałem z tego, że jej spodek dzieli podstawę na dwie równe części oraz z tego, że wysokość ta jest zawarta w dwusiecznej kąta między ramionami.

nie bardzo rozumiem jak to ma się do tego wzoru MN=2\cdot3\cdot\sin(150^\circ/2)=6\sin75^\circ mógłbyś to szerzej wytłumaczyć ?
3 to jest bok trójkata i zarazem promień koła , sin ^\circ 75 kat między wysokoscią, a bokiem OM , a 2 że jest połową tego trójkata MON ?
Może jest w takim przypadku ogólny wzór lub jakaś definicja ?
Mógłbyś wyjaśnić ?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Okrąg - zadanie 9  _jagoda_  1
 Okrąg - zadanie 3  baksio  9
 Okrąg - zadanie 18  chillout89  4
 okrąg - zadanie 17  pawel89  0
 Okrąg - zadanie 4  w00per  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl