szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2007, o 01:00 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2470
Lokalizacja: BW
  1. Na paraboli x^{2}=2y znaleźć punkt, którego odległość od punktu A(1,1) jest najmniejsza. (5pkt.)
  2. Wykazać, że liczba x=99999+100000\sqrt{3} nie może być zapisana w postaci \left(a+b\sqrt{3}\right)^2, gdzie a i b są liczbami całkowitymi. Sprawdzić też, że liczbę y=507+264\sqrt{3} da się w tej postaci przedstawić. (6pkt.)
  3. Wybrano na wykresie funkcji f(x)=\tfrac{1}{x} dwa punkty A i B, o odciętych równych odpowiednio x_{A}=\tfrac{1}{2}, x_{B}=8. Podać współrzędne punktu styczności P tej stycznej do wykresu funkcji f, która jest równoległa do odcinka AB. (5pkt.)
  4. Ze zbioru liczb X=\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \} losujemy kolejno dwie liczby (bez zwracania). (4pkt.)
    1. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzeń:
      • A - suma wylosowanych liczb jest większa od 8
      • B - za pierwszym razem wyciągnięto liczbę parzystą.
    2. Czy zdarzenia A i B są niezależne?
    3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma liczb wylosowanych jest większa od 8, jeżeli za pierwszym razem wyciągnięto liczbę parzystą?
__________

Rozwiązania należy przesyłać do końca niedzieli (tj. 11 listopada) na konto Liga wyłącznie poprzez PW klikając tu: Obrazek według schematu i zasad podanych w poniższym temacie:

:arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=42434

Zapraszamy. Powodzenia :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2007, o 01:15 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2470
Lokalizacja: BW
Tabela wyników:

\begin{array}{l|c|c|c|c|c}\hline\hline
\mbox{Nick} & \mbox{Zad. 1 (/5)} & \mbox{Zad. 2 (/6)} & \mbox{Zad. 3 (/5)} & \mbox{Zad. 4 (/4)} & \mbox{Suma (/20,\,(100\%))}\\
\hline
\mbox{*Kasia} & 5 & 6 & 5 & 4 & 20\mbox{pkt.}\,\,(100\%) \\
\mbox{altair3} & - & 4 & - & - & 4\mbox{pkt.}\,\,(20\%) \\
\mbox{Sylwek} & 4 & 6 & 5 & 2 & 17\mbox{pkt.}\,\,(85\%) \\
\mbox{Szemek} & 5 & 6 & 5 & 3 & 19\mbox{pkt.}\,\,(95\%) \\
\hline\hline\end{array}


Wybrane nadesłane rozwiązania:
  1. Zdefiniujmy funkcję f\left(x\right) jako odległość punktu należącego do paraboli, mającego odciętą równą x od punktu A\left(1,1\right). Współrzędne tego punktu to \left(x; \frac{x^2}{2}\right).
    f\left(x\right)=\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(\frac{x^2-2}{2}\right)^2}
    Funkcja f\left(x\right) osiąga minimum wtedy, gdy minimum osiąga funkcja g\left(x\right)=\left(x-1\right)^2+\left(\frac{x^2-2}{2}\right)^2=\frac{x^4}{4}-2x+2 (funkcja ta przyjmuje zawsze wartości nieujemne).
    Pochodna funkcji g\left(x\right):
    g'\left(x\right)=\left(\frac{x^4}{4}-2x+2\right)'=\left(\frac{x^4}{4}\right)'-\left(2x\right)'+\left(2\right)'=\frac{\left(x^4\right)'\cdot 4+\left(x^4\right)\cdot \left(4\right)'}{4^2}-2=\frac{16x^3+0}{16}-2=x^3-2
    Funkcja ta osiąga miejsce zerowe i zmianę znaku z ujemnego na dodatni w punkcie x_0 takim, że:
    x_0^3-2=0\\
x_0=\sqrt[3]{2}
    W tym samym punkcie funkcja f\left(x\right) osiąga minimum.
    Czyli szukany punkt na paraboli ma współrzędne \left(\sqrt[3]{2};\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right).

    Odpowiedź: Punkt należący do paraboli x^2=2y, którego odległość od punktu A\left(1,1\right) jest możliwie najmniejsza ma współrzędne \left(\sqrt[3]{2};\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right).
    1. Przeprowadźmy dowód nie wprost.

      a,b \in \mathbb{Z}

      Rozpiszmy:
      (a+b\sqrt{3})^2=a^2+3b^2+2\sqrt{3}ab

      Ale w naszym przypadku: a^2+3b^2=99999 \\ a^2=3(33333-b^2)

      Zatem 3|a^2 \ \Rightarrow \ 3|a

      Ale mamy zarazem:
      2\sqrt{3}ab=100000\sqrt{3} \\ ab=50000

      Ale skoro 3|a, to 50000|3, co jest sprzecznością, zatem liczba x=99999+100000\sqrt{3} nie może być zapisana w postaci \left(a+b\sqrt{3}\right)^2, gdzie a i b są liczbami całkowitymi.
    2. Mamy tutaj następujący układ równań:
      \begin{cases} a^2+3b^2=507 \\ 2\sqrt{3}ab=264\sqrt{3} \end{cases} \\ \begin{cases} a^2+3b^2=507 \\ ab=132 \iff a=\frac{132}{b} \end{cases} \\ \frac{17424}{b^2}+3b^2=507 \\ 3b^4-507b^2+17424=0 \\ b^4-169b^2+5808=0 \\ (b^2-48)(b^2-121)=0 \ \wedge b \in \mathbb{Z} \\ \begin{cases}b=11 \\ a=12\end{cases} \vee \begin{cases}b=-11 \\ a=-12 \end{cases}

      Czyli:
      (12+11\sqrt{3})^2=507+264\sqrt{3} oraz (-12-11\sqrt{3})^2=507+264\sqrt{3}, a tego właśnie mieliśmy dowieść.
  2. x_{A}=\tfrac{1}{2}, x_{B}=8
    Wyznaczam punkty A i B:
    f(\tfrac{1}{2})=2
    A(\tfrac{1}{2},2)
    f(8)=\tfrac{1}{8}
    B(8, \tfrac{1}{8})
    Wyznaczam prostą l:y=ax+b przechodzącą przez punkty A i B
    a=tg \ \alpha
    \vec{AB}[8-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{8}-2]
    \vec{AB}[\tfrac{15}{2}, -\tfrac{15}{8}]
    tg \ \alpha = \frac{-\tfrac{15}{8}}{\tfrac{15}{2}} \iff tg \ \alpha =-\tfrac{1}{4}
    l:y=-\tfrac{1}{4}x+b
    A \in l
    2=-\tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{1}{2} +b \iff b=\tfrac{17}{8}
    l:y=-\tfrac{1}{4}x+\tfrac{17}{8}
    Szukam punktów wspólnych stycznych i wykresu funkcji:
    f'(x_0)=-\tfrac{1}{4}  \iff  -\frac{1}{x^2}=-\frac{1}{4}
    x^2=4 \iff (x_1=-2, \ x_2=2)
    f(x_1)=f(-2)=-\frac{1}{2}
    f(x_2)=f(2)=\frac{1}{2}
    P\left(-2,-\frac{1}{2}\right) \vee P\left(2, \frac{1}{2}\right)

    Odpowiedź: Punkt P ma współrzędne P\left(-2,-\tfrac{1}{2}\right) lub P(2, \tfrac{1}{2}).
  3. Ad 1
    Wszystkich zdarzeń: \frac{6!}{4!}=6\cdot 5=30
    a) Zdarzeń sprzyjających: 8: (3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5)
    P(A)=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}
    b) Zdarzeń sprzyjających: 3\cdot 5=15
    P(B)=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}

    Ad 2
    Zdarzenia A i B są niezależne \Leftrightarrow P(A)\cdot P(B)=P(A\cap B)
    A\cap B: zdarzeń sprzyjających: 5: (4,5), (4,6), (6,3), (6,4), (6,5).
    P(A\cap B)=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}
    P(A)\cdot P(B)=\frac{4}{15}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{15}\\
P(A)\cdot P(B)\neq (A\cap B)

    Ad 3
    I sposób: Prawdopodobieństwo warunkowe:
    P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}
    II sposób: Wszystkich zdarzeń: 3\cdot 5=15
    Sprzyjających: 5: (4,5), (4,6), (6,3), (6,4), (6,5).
    P(A|B)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}.

    Odpowiedź: P(A)=\tfrac{4}{15},\ P(B)=\tfrac{1}{2},\ P(A|B)=\tfrac{1}{3}, zdarzenia A i B nie są niezależne.
Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Liga maturalna] Seria 3 (08.10.07r.-14.10.07r.), wyniki  bolo  1
 [Liga 2007] Styczeń - I seria zadań  Liga  9
 [Liga 2004] Pytania, uwagi do treści zadań...  Arek  20
 [Liga maturalna] Seria 9 (19.11.07r.-02.12.07r.)  bolo  0
 [Liga maturalna] Seria 8 (12.11.07r.-18.11.07r.), wyniki  bolo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl