szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 14 sie 2019, o 10:18 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Przemyśl
Witam!
Zadanie brzmi następująco: Wykaż, że jeśli promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach długości a, b, c wyraża się wzorem r= \frac{a+b-c}{2}, to trójkąt ten jest prostokątny.
Udało mi się dojść do czegoś takiego...
\gamma - kąt pomiędzy bokami a oraz b,
P= \frac{1}{2} ab \cdot \sin \gamma oraz r= \frac{2P}{a+b+c}.
Czyli mamy r= \frac{ab \cdot \sin \gamma}{a+b+c} = \frac{a+b-c}{2}. Po wymnożeniu "na krzyż" mamy 2ab \cdot \sin \gamma = a ^{2} +b ^{2} +2ab - c ^{2} i dalej
2ab(\sin \gamma - 1) = a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}. Widać teraz chyba, że jest to prawdziwe dla \gamma =  \frac{ \pi }{2} oraz a ^{2}  + b ^{2} = c ^{2}, czyli dla trójkąta prostokątnego... Czy nie? :D

-- 14 sie 2019, o 10:38 --

Teraz zauważyłem. że zamiast c ^{2} można wstawić (z twierdzenia cosinusów) a ^{2} + b ^{2} - 2ab \cdot \cos \gamma i wtedy wychodzi \sin \gamma - 1 = \cos \gamma  \Rightarrow \gamma =  \frac{ \pi }{2}.
To chyba zamyka temat...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 sie 2019, o 11:03 
Użytkownik

Posty: 4946
Można inaczej.

r = \frac{a+b-c}{2}= \frac{S}{p}= \frac{\frac{ab}{2}}{\frac{a+b+c}{2}}

Stąd

\frac{a+b-c}{2}= \frac{ab}{a+b+c}

2ab = a^2 +ab -ac +ab +b^2 -bc +ac +bc -c^2

0 = a^2 +b^2 -c^2

a^2+b^2 = c^2.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 sie 2019, o 11:04 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Przemyśl
No raczej :D
Dzięki ;)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 sie 2019, o 11:06 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18644
Lokalizacja: Cieszyn
Cytuj:
Widać teraz chyba, że jest to prawdziwe dla \gamma =  \frac{ \pi }{2} oraz a ^{2}  + b ^{2} = c ^{2}, czyli dla trójkąta prostokątnego... Czy nie? :D


Tutaj zakładasz, że r=\frac{a+b-c}{2} oraz, że trójkąt jest prostokątny, więc nie tędy droga.

Cytuj:
Teraz zauważyłem. że zamiast c ^{2} można wstawić (z twierdzenia cosinusów)a ^{2} + b ^{2} - 2ab \cdot \cos\gamma i wtedy wychodzi \sin\gamma - 1 =\cos\gamma  \Rightarrow \gamma =  \frac{ \pi }{2}.


Lewa strona jest \le 0, więc \cos\gamma\le 0 oraz \gamma\in(0,\pi). Oznacza to, że \cos\gamma=0, więc istotnie \gamma jest kątem prostym. W porządku.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 sie 2019, o 11:29 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Przemyśl
Dzięki ;)

-- 14 sie 2019, o 11:57 --

szw1710 napisał(a):
Cytuj:
Widać teraz chyba, że jest to prawdziwe dla \gamma =  \frac{ \pi }{2} oraz a ^{2}  + b ^{2} = c ^{2}, czyli dla trójkąta prostokątnego... Czy nie? :D


Tutaj zakładasz, że r=\frac{a+b-c}{2} oraz, że trójkąt jest prostokątny, więc nie tędy droga.

Cytuj:
Teraz zauważyłem. że zamiast c ^{2} można wstawić (z twierdzenia cosinusów)a ^{2} + b ^{2} - 2ab \cdot \cos\gamma i wtedy wychodzi \sin\gamma - 1 =\cos\gamma  \Rightarrow \gamma =  \frac{ \pi }{2}.


Lewa strona jest \le 0, więc \cos\gamma\le 0 oraz \gamma\in(0,\pi). Oznacza to, że \cos\gamma=0, więc istotnie \gamma jest kątem prostym. W porządku.


Więc założenie "janusz47", że trójkąt jest prostokątny przy wyrażaniu jego pola, też jest nadużyciem?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 sie 2019, o 16:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 470
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Zgadza się, jakby można było dowodzić przez założenie tezy, to by żadnej trudności nie było :)

Z założenia można wywnioskować, że c=a+b-2r. Podstawiając teraz do wzoru Herona otrzymamy, że pole S rozważanego trójkąta wynosi
S=\sqrt{\frac{a+b+a+b-2r}{2}\cdot\frac{a+b-a-b-2r}{2}\cdot\frac{a+a+b-2r-b}{2}\cdot\frac{b+a+b-2r-a}{2}}, co po uproszczeniu da \sqrt{(a+b-r)r(a-r)(b-r)}, czyli innymi słowy \sqrt{S(a-r)(b-r)}, gdzie korzystamy z faktu, że a+b-r to połowa obwodu trójkąta, a iloczyn połowy obwodu przez promień okręgu wpisanego jest równy polu trójkąta. Zatem otrzymaliśmy równanie S^2=(a-r)(b-r)S, które możemy równoważnie przekształcić, by otrzymać ab-r(a+b-r)=S. Ponownie korzystając z tego samego faktu, co wcześniej otrzymamy ab-S=S, czyli S=\frac{ab}{2}. Teraz jeżeli h jest wysokością trójkąta opuszczoną na bok długości a, to oczywiste jest, że b=h. A z tego już wynika, że trójkąt musi być prostokątny.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 sie 2019, o 18:35 
Użytkownik

Posty: 4946
Inny sposób

S = \frac{1}{2}r\cdot  p = \frac{1}{4}(a+b-c)\cdot (a+b+c) = \frac{1}{4}(a^2 +2ab +b^2 -c^2) \ \ (1)

Z twierdzenia kosinusów (Carnota)

c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos (\gamma) \ \ (2)

(2),  (1)

S = \frac{1}{4}(a^2 +2ab +b^2 - a^2-b^2 -2ab\cos (\gamma) )= \frac{1}{4}2ab(1-\cos (\gamma))

Wykażemy, że musi \cos (\gamma) = 0, czyli miara kąta \gamma = \frac{\pi}{2}.

Idąc za tokiem rozumowania Pana szw1710,

gdyby \cos (\gamma) \neq 0, wówczas stosując wzór na różnicę kosinusów otrzymalibyśmy

1 -\cos (\gamma) = \cos (0) - \cos (\gamma) = -2\sin (\gamma/2) \cos (-\gamma/2)=-\sin (\gamma).

Ponieważ \sin (\gamma) = \sin [180^{o}-(\alpha +\beta)] =\sin (\alpha+\beta)>0, więc pole S musiałoby być liczbą ujemną, co jest niemożliwe.

Czyli muszą zachodzić równości \cos (\gamma) = 0, \gamma = \frac{\pi}{2},

S = \frac{a\cdot b}{2}.
c.n.w.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 sie 2019, o 19:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 470
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Niestety bez sensu, nieprawda że \cos x - \cos y=-2\sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}. Tą drugą funkcją w tym iloczynie powinien być sinus.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 sie 2019, o 06:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7135
c=\left( a-r\ctg  \frac{C}{2} \right)+ \left( b-r\ctg  \frac{C}{2} \right)\\
r= \frac{a+b-c}{2\ctg  \frac{C}{2} }

Skoro:
\frac{a+b-c}{2\ctg  \frac{C}{2} }=\frac{a+b-c}{2 }
to \ctg  \frac{C}{2}=1 ,
więc \angle C=90^{\circ}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 sie 2019, o 09:12 
Użytkownik

Posty: 4946
S = \frac{1}{2}r\cdot  p = \frac{1}{4}(a+b-c)\cdot (a+b+c) = \frac{1}{4}(a^2 +2ab +b^2 -c^2) \ \ (1)

Z twierdzenia kosinusów (Carnota)

c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos (\gamma) \ \ (2)

(2), (1)

S = \frac{1}{4}(a^2 +2ab +b^2 - a^2-b^2 -2ab\cos (\gamma) )= \frac{1}{4}2ab(1-\cos (\gamma)) \ \ (3)

Z drugiej strony pole trójkąta

S = \frac{1}{2}a\cdot b \sin(\gamma) \ \ (4)


(3), (4)

\frac{1}{2}a\cdot b \sin(\gamma) = \frac{1}{2}a\cdot b (1- \cos(\gamma))


\sin(\gamma) + \cos(\gamma) = 1

\gamma = 90^{o}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny  biedronka  2
 promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny - zadanie 2  pawczar  3
 promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny - zadanie 3  Daab  2
 Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny - zadanie 4  zielu_lodz  2
 Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny - zadanie 6  Kamilo18  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl