szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
 Tytuł: C w ZFC
PostNapisane: 9 sie 2019, o 15:40 
Użytkownik

Posty: 141
Lokalizacja: slask
Chodzi o tzw. aksjomat wyboru czy selekcji. O ile paradoks Russella został rozwiązany pomyślnie o tyle twierdzenie Banacha- Tarskiego o rozkładzie kuli opierające się właśnie o aksjomat wyboru już nie. I jak tu mówić o ugruntowaniu matematyki w logice. Nie jestem matematykiem, ale ta cała teoria mnogości właśnie z tego powodu wydaje się głupia, bo pozbawiona logicznego wsparcia. Co o tym myślicie? Poczyniono jakieś postępy czy wszystko dalej jest bez sensu?
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Re: C w ZFC
PostNapisane: 9 sie 2019, o 20:20 
Użytkownik

Posty: 560
Lokalizacja: Rzeszów
Poczynione wielkie postępy. Mówiąc, że cała teoria mnogości jest głupia obrażasz matematykę.

Zobacz na chociażby dowód w zbiorze liczb naturalnych von Neumanna, że jeśli suma dwóch liczb naturalnych jest równa 0, to obydwie muszą być równe 0 tu. A dowodzi się w zbiorze liczb naturalnych von Neumanna też bardziej złożone fakty, a też później rozważa się bardziej złożone twory liczbowe, nie mówiąc już o bardziej doniosłych twierdzeń podstaw matematyki. I mówisz, że to bez sensu. :evil:

Akurat dowodu, że kulę trójwymiarową można podzielić na sześć części, z których można złożyć dwie kulę identyczne z pierwszą dowodu nie znam, ale przeczytałam, że jest to podziałem na części nie mające objętości( co nie znaczy że ta objętość jest równa 0, tzn. że nie ma miary, nie można im przypisać miary).

Istnienie zbiorów nie mających miary nie jest dla mnie dziwne, dziwne są jedynie niektóre podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Rozważmy relację \approx na zbiorze \left[ 0,1\right]

x \approx y \Longleftrightarrow x-y \in \QQ.

Czyli dwie liczby są w relacji, gdy ich różnica jest liczbą wymierną( to nie mój pomysł, ja bym w życiu nie wpadł na taki kosmiczny, jak się przekonamy, pomysł) .

Łatwo natomiast sprawdzić, że taka relacja jest relacją równoważności.

Relacja ta jest zwrotną, bo zawsze x \approx x, gdyż x-x=0 \in\QQ.

Jest symetryczna, gdyż jeśli x \approx y, to x- y \in \QQ, a więc -\left( x-y\right)=y-x \in\QQ , a więc y \approx x.

Jest przechodnia, gdyż jeśli x \approx y i y \approx z, to x-y \in \QQ, I y-z \in \QQ, i wtedy również x- z=\left( x-y\right)+ \left( y-z\right)  \in\QQ., a więc x \approx z.

Wobec czego \approx jest relacją równoważności.

W związku z czym z własności relacji równoważności zbiór \left[ 0,1\right] jest podzielony na klasy równoważności, i jeżeli weźmiemy klasę równoważności, to każde dwie liczby są w relacji \approx , czyli są odległe od siebie o liczbę wymierną (to chyba jeszcze nie takie straszne ) , ponieważ \QQ jest zbiorem przeliczalnym, to klasy równoważności są przeliczalne, a ich suma to \left[ 0,1\right] zbiór mocy continuum, gdyby zatem klas równoważności byłoby co najwyżej przeliczanie wiele więc ich suma byłaby również co najwyżej przeliczalną, czyli \left[ 0,1\right] byłby co najwyżej przeliczalny, sprzeczność. Wobec czego klas równoważności jest nieprzeliczalnie wiele, i co gorsza jeśli weźmiemy dwie różne klasy równoważności, to jej dwa dowolni reprezentanci (z własności relacji równoważności nie są w relacji \approx), a więc muszą być odlegli od siebie o liczbę niewymierną, i klas równoważności jest nieprzeliczalnie wiele- kosmos.

Dla takiej "kosmicznej" relacji równoważności nie dziwi mnie, że może pojawić się zbiór nie mierzalny.

Podstawy matematyki są zrobione dość pewnie, natomiast w bardziej specjalistycznych zagadnieniach może nie być tak łatwo.
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: C w ZFC
PostNapisane: 9 sie 2019, o 20:57 
Użytkownik

Posty: 141
Lokalizacja: slask
No, dobrze. Powiedzmy, że mam coś udowodnić a dowód wymaga aksjomatu wyboru. I co dalej? Wyrzucić mam ten dowód do śmieci czy nie. I co zrobić z twierdzeniami opartymi o ten aksjomat? Nie mówię, że cała teoria jest do niczego. Można się ograniczyć tylko do ZF bez C. A w logice jeden paradoks unieważnia wszystko czyli ZF razem z C musi być błędna.
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Re: C w ZFC
PostNapisane: 10 sie 2019, o 11:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 46
Lokalizacja: Oulu
Jeżeli nie akceptujesz ZFC, to tak, możesz wyrzucić ten dowód do śmieci. Ja akceptuję, bo pozwala mi dowodzić twierdzeń, których potrzebuję i uważam, że nie jest to wysoka cena.

Czy studiowałeś może kiedyś matematykę? Z prac Cohena oraz Gödla wynika, że aksjomat wyboru jest niezależny od aksjomatów ZF. Możesz więc uprawiać matematykę w czystym ZF, ZF + C, albo ZF + negacja C; każda z tych opcji ma swoje plusy i minusy. Zwolennikami trzeciego "rozwiązania" są na przykład osoby pracujące z dodatkowym aksjomatem determinacji, który implikuje, że aksjomat wyboru jest fałszywy.
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: C w ZFC
PostNapisane: 10 sie 2019, o 15:04 
Użytkownik

Posty: 141
Lokalizacja: slask
Czyli, chcesz powiedzieć, że teoria mnogości rozgałęzia się jak geometria euklidesowa i nieeuklidesowa. Ciekawe, tego akurat nie wiedziałem, dzięki za informację. Ale interesuje mnie jeszcze, co traci matematyka po odrzuceniu tego aksjomatu.
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Re: C w ZFC
PostNapisane: 11 sie 2019, o 13:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 46
Lokalizacja: Oulu
Tak, to chyba podobna sytuacja: zarówno V aksjomat Euklidesa jak i jego negacja nie wynikają z pozostałych aksjomatów. W sumie nigdy tak o tym nie myślałem, ale one naprawdę są podobne: intuicyjnie, oba powinny być prawdziwe, oba są bardziej skomplikowane niż inne aksjomaty, więc ludzie szukali ich dowodu, ale potem odkryli, że są niezależne :D

Co traci? Wszystkie twierdzenia, które są równoważne aksjomatowi wyboru, przestają być prawdziwe (jeśli przez odrzucenie rozumiesz przyjęcie negacji). Czyli: istnieje przestrzeń liniowa bez bazy. Istnieje zbiór bez dobrego porządku. Istnieją dwa zbiory, których mocy nie można porównać. Istnieje rodzina niepustych zbiorów, której iloczyn kartezjański jest pusty (!). Istnieje rodzina zwartych przestrzeni, której produkt nie jest zwarty. Istnieje spójny graf bez drzewa rozpinającego. Itd.
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Re: C w ZFC
PostNapisane: 11 sie 2019, o 21:01 
Użytkownik

Posty: 560
Lokalizacja: Rzeszów
Nie tylko równoważniki aksjomatowi wyboru( to chyba nie jest specjalna strata, bo często te równoważniki aksjomatowi wyboru są intuicyjnie oczywiste w zbiorach skończonych czy przeliczalnych, natomiast we większych zbiorach można mieć problem z wyobraźnią, więc co to za strata),

Natomiast są fakty, które wymagają aksjomatu wyboru (niekoniecznie są jemu równowazne). Jednym z takich ważnych i ciekawych faktów jest twierdzenie, że zbiór liczb naturalnych \NN jest najmniejszym, względem mocy, zbiorem nieskończonym. Dowód wymaga aksjomatu wyboru (ale akurat tego, że wymaga nie umiem uzasadnić). Czyli to tracimy, jak i wnioski z tego twierdzenia. Aksjomatu wyboru wymaga chyba też twierdzenie, że suma przeliczanie wielu zbiorów dwuelementowych jest zbiorem przeliczalnym( a tym bardziej twierdzenie, że suma przeliczanie wielu zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym ) . Albo (nie wiem czy to twierdzenie wymaga aksjomatu wyboru, ale chyba tak), mamy naturalny fakt, że dla dowolnych dwóch zbiorów jeden ma moc nie większą od drugiego (zgodnie z definicją nierówności mocy zbiorów). Także takie naturalne fakty tracimy.
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Re: C w ZFC
PostNapisane: 12 sie 2019, o 04:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 46
Lokalizacja: Oulu
O porównywaniu mocy zbiorów pisałem wyżej, to jest równoważne aksjomatowi wyboru.

Przeliczalność sumy zbiorów dwuelementowych wynika ze słabszego niż AC stwierdzenia, zwanego aksjomatem przeliczalnego wyboru (dla zbiorów skończonych).

Fakt, że "jeśli nie istnieje injekcja \mathbb N \to X, to zbiór X jest skończony", także nie wymaga pełnego aksjomatu wyboru, tylko pewnego jego osłabienia. O czwartej rano nie mam głowy do przekopywania się przez notatki :D więc nie podaję konkretnego odnośnika.
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Re: C w ZFC
PostNapisane: 13 sie 2019, o 21:36 
Użytkownik

Posty: 560
Lokalizacja: Rzeszów
Gosda napisał(a):
O porównywaniu mocy zbiorów pisałem wyżej, to jest równoważne aksjomatowi wyboru.
Mógłbyś pokazać jak z tego faktu, że dowolne dwa zbiory są porównywalne na moc jak z tego wynika aksjomat wyboru :?:
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Re: C w ZFC
PostNapisane: 13 sie 2019, o 23:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 46
Lokalizacja: Oulu
Jeśli moce dowolnych dwóch zbiorów są porównywalne, to przy pomocy lematu Hartogsa można dość łatwo pokazać, że każdy zbiór można dobrze uporządkować, a stąd wynika już aksjomat wyboru.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl