szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 6 sie 2019, o 13:14 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Polska
-6x ^{2}+3x+2=0

\frac{1}{x ^{2} _{1} } + \frac{1}{x ^{2} _{1}  }
Mamy funkcję kwadratową i jej pierwiastki. Chodzi o to, że muszę uprościć tę sumę kwadratów do jakiejś normalnej postaci (z a, b, c), żebym mogła policzyć tę sumę kwadratów dla tej funkcji kwadratowej. Wychodzą mi jakieś dziwne rzeczy typu b ^{4}.

Mam jeszcze parę innych przykład na samo uproszczenie do postaci z a, b, c, które też mi nie wychodzą.
\frac{1}{x ^{2}  _{1}   \cdot  x _{2}} +  \frac{1}{x _{1}  \cdot x ^{2} _{2}}

x ^{3} _{1} + x ^{3} _{2}

\frac{1}{x ^{3} _{1} }+ \frac{1}{x  ^{3} _{2}}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 6 sie 2019, o 13:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2256
Lokalizacja: hrubielowo
Chodzi o to by te wyrażania zapisać jako jakieś "kombinacje" wyrażań x_1x_2 oraz x_1+x_2 co pozwoli Ci korzystać z wzorów Viete'a a to uchroni Cię od liczenia tych pierwiastków jawnie.

\frac{1}{x ^{2} _{1} } + \frac{1}{x ^{2} _{2} }=  \frac{x_1^2+x_2^2}{\left( x_1x_2\right)^2 }=\frac{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2}{\left( x_1x_2\right)^2 }=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{\left( x_1x_2\right)^2 }

No i teraz wystarczy, że wstawisz zamiast x_1x_2 oraz x_1+x_2 odpowiedni współczynniki wielomianu, o tym jak to zrobić mówią wzorów Viete'a. Potem analogicznie

\frac{1}{x ^{2} _{1} \cdot x _{2}} + \frac{1}{x _{1} \cdot x ^{2} _{2}}= \frac{1}{x_1x_2} \cdot \left(  \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1} \right)=  \frac{x_1+x_2}{\left( x_1x_2\right)^2 }

dwa kolejne tak samo się robi tylko z worami na sumę sześcianów trzeba się zaprzyjaźnić.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 7 sie 2019, o 18:22 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Polska
Tak, to zadziałało, ale mam problem z innymi zadaniami. Przepraszam że tak dużo, ale jestem dosyć do tyłu i staram się jak najszybciej nadrobić.
Równanie 4x ^{2}+bx+12=0 ma dwa pierwiastki, które są liczbami naturalnymi. Wyznacz wartość b.


Liczby x _{1} i x_{2} są miejscami zerowymi funkcji f(x)=-2 x^{2}+bx+c. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji należy do prostej y=8. Wyznacz wzór funkcji f(x), jeżeli \frac{x _{1}+x_{2} }{x_{1}x_{2}}= \frac{2}{3}.

To drugie wyszło mi dobrze tylko do połowy, nie wiem, jakie przekształcenia w nich zrobić.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 sie 2019, o 18:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7135
Niepokonana napisał(a):
Równanie 4x ^{2}+bx+12=0 ma dwa pierwiastki, które są liczbami naturalnymi. Wyznacz wartość b.

x_1x_2= \frac{c}{a} \\
x_1x_2=3\\
x_1x_2=1 \cdot 3\\
\\
x_1+x_2= \frac{-b}{a} \\
1+3= \frac{-b}{4}


EDIT:
Przepraszam, że się wtrąciłem.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 sie 2019, o 18:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2256
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
Równanie 4x ^{2}+bx+12=0 ma dwa pierwiastki, które są liczbami naturalnymi. Wyznacz wartość b.
Z wzoru Viet iloczyn pierwiastków to x_1x_2= \frac{12}{4}=3 skoro x_1,x_2\in\NN to x_1=1 oraz x_2=3 lub odwrotnie. Zatem funkcje kwadratową z zadania można przedstawić w postaci iloczynowej 4(x-1)(x-3). By policzyć b można wymnożyć te nawiasy i porównać wielomiany co daje 4x ^{2}+bx+12=4x ^{2}-16x+12 czyli b=-16

Cytuj:
Liczbyx _{1} i x_{2} są miejscami zerowymi funkcji f(x)=-2 x^{2}+bx+c. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji należy do prostej y=8. Wyznacz wzór funkcji f(x), jeżeli \frac{x _{1}+x_{2} }{x_{1}x_{2}}= \frac{2}{3}.
Trzeba rozwiązać układ równań.

\begin{cases} f\left(  \frac{x_1+x_2}{2} \right)=8  \\ \frac{x _{1}+x_{2} }{x_{1}x_{2}}= \frac{2}{3} \end{cases}

Pierwsze równanie zadaje warunek na wierzchołek. A drugi warunek jest z treści zadania. No i proponuję zapisać ten układ w kontekście wzorów Viet'a czyli

\begin{cases} f\left(  \frac{b}{4} \right)=8  \\ \frac{-b}{c}= \frac{2}{3} \end{cases}

\begin{cases} -2\left(  \frac{b}{4} \right) ^{2}+ \frac{b^2}{4} +c
=8  \\ \frac{-b}{c}= \frac{2}{3} \end{cases}

Wyznacz z drugiego c wstaw do pierwszego i dostaniesz równanie z niewiadomą b.

Cytuj:
To drugie wyszło mi dobrze tylko do połowy, nie wiem, jakie przekształcenia w nich zrobić.
Na przyszłość. W razie pytań napisz to co zrobiłaś bez tego nikt nie jest Ci w stanie pomóc bo nikt się nie domyśli co masz w zeszycie.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 7 sie 2019, o 20:12 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Polska
Nie szkodzi, dziękuję za każdą dobrą odpowiedź. :)
EDIT:
W zeszycie mam:
\begin{cases} x_{1}-x_{2}=4 \\ x_{1}+x_{2}=2 \end{cases}
Doszłam tylko do wniosku, że różnica między pierwiastkami wynosi 4...

-- 7 sie 2019, o 21:23 --

A mógłbyś dokończyć to równanie?
Napisałam, że c=- \frac{2}{3}b. No więc -2( \frac{b}{4})^{2}+ \frac{b^{2}}{4}- \frac{2}{3}b -8=0 i wyszła mi delta \frac{40}{9}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 sie 2019, o 16:50 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: województwo śląskie
Źle wyliczyłaś c, powinno być
c = - \frac {3}{2} b

\begin{cases} -2 \left(\frac {b}{4} \right)^2 + \frac {b^2}{4} + c = 8  \\ \frac {-b}{c} = \frac {2}{3} \end{cases}

Z drugiego równania, mnożąc obustronnie najpierw przez c mamy:
-b = \frac {2}{3} \cdot c
a następnie mnożąc obustronnie przez \frac {3}{2} dostajemy:
- \frac {3}{2} b = c
c = -\frac {3}{2} b

Wstawiając c do pierwszego równania mamy:

-2 \left(\frac{b}{4} \right)^2 + \frac{b^2}{4} - \frac {3}{2} b = 8

-2 \cdot \frac {b^2}{16} + \frac {b^2}{4} - \frac {3}{2} b = 8

\frac {-b^2}{8} + \frac {b^2}{4} - \frac {3}{2} b = 8

Mnożąc obustronnie przez 8 otrzymujemy:

-b^2 + 2 b^2 - 12b = 64
b^2 - 12b - 64 = 0

Teraz trzeba jedynie obliczyć pierwiastki tego równania kwadratowego.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 13 sie 2019, o 20:20 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Polska
Ej, masz rację, dzięki, można zamknąć wątek.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wzory skróconego mnożenia.. Sprawdź, czy...  __Wrrredotka__  4
 suma podwójna - jak obliczyć ?  lucrezia  6
 suma, NWD, NWW dwóch liczb  szymek12  4
 Suma odwrotności n liczb  MrMichael123  3
 Suma liczb - zadanie 6  Tom1234  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl