szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
 Tytuł: Lemat Mosera
PostNapisane: 11 lip 2019, o 00:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 576
Lokalizacja: Wrocław (UWr) / Pułtusk
Niech M będzie rozmaitością \omega_t \in \Omega^2(M) gładko zależną rodziną 2-form różniczkowych. Załóżmy, że \frac{d}{dt}|_{t=s} \omega_t=d \alpha_s dla \alpha_s \in \Omega^1(M). Niech X_t będą polami wektorowymi na M takimi, że \iota_{X_t} \omega_t=-\alpha_t i załóżmy ponadto, że X_t się całkują do \phi_t \in \mathrm{Diff}(M) oraz \phi_0=Id. Wtedy \phi_t^* \omega_t=\omega_0.

Rozumiem, że stwierdzenie że X_t się całkuje do \phi_t oznacza wybór \phi_t:=\phi_t^{X_t}, gdzie \phi_s^{X_t} jest 1-parametrową grupą dyfeomorfizmów zadanych przez X_t ?

Dowód Lematu Mosera polega na pokazaniu, że krzywa form różniczkowych jest stała, tzn \frac{d}{dt}(\phi_t^*\omega_t)=const. Dodatkowo \phi_0^*\omega_0=\omega_0 więc zachodzi teza. Rachunek wygląda tak, że \frac{d}{dt}(\phi_t^*\omega_t)\red{=}\black\phi_t^* \mathcal{L}_{X_t}\omega_t+\phi_t^*\frac{d}{dt}\omega_t=\phi_t^*\left( \mathcal{L}_{X_t}\omega_t+\frac{d}{dt}\omega_t\right) =\phi_t^*\left( (d\iota_{X_t}+\iota_{X_t}d)\omega_t+d\alpha_t\right)

Składnik \iota_{X_t}d\omega_t jest zerowy ponieważ d\omega_t=0. Kolejny składnik d\iota_{X_t}\omega_t wynosi -d\alpha_t. Zatem (d\iota_{X_t}+\iota_{X_t}d)\omega_t+d\alpha_t=0.

Moje pytanie dotyczy równości zaznaczonej kolorem czerwonym.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Lemat Mosera
PostNapisane: 11 lip 2019, o 10:09 
Użytkownik

Posty: 4882
Pochodna Liego.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 lip 2019, o 11:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 576
Lokalizacja: Wrocław (UWr) / Pułtusk
Właśnie chodzi o to, że trzeba coś więcej, gdyż te formy również zależą od parametru t. Wydaje mi się, że idzie to można zrobić tak:

Dla gładkiej funkcji dwóch zmiennych g(x,y) zachodzi \frac{d}{dt}g(t,t)=\frac{d}{dx}|_{x=t}g(x,t)+\frac{d}{dy}|_{y=t}g(t,y). Co w tej sytuacji oznacza \frac{d}{dt} \phi_t^*\omega_t=\frac{d}{dx}|_{x=t} \phi_x^* \omega_t+\frac{d}{dy}|_{y=t} \phi_t^* \omega_y. Pierwszy składnik wynosi \phi_t^*\left(\mathcal{L}_{X_t} \omega_t}\right) (co też jest jakimś ćwiczeniem, gdyż standardowo pochodna Liego to różniczkowanie w t=0) a drugi \phi_t^*\left(\frac{d}{dt} \omega_t\right).
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Lemat Mosera
PostNapisane: 11 lip 2019, o 17:57 
Użytkownik

Posty: 4882
http://people.math.umass.edu/~wchen/sym_lect33.pdf
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Lemat Urysohna- problem z dowodem  xtremalny  1
 Lemat Spernera?  vladdracul  1
 Lemat Urysohna - zadanie 2  malysz369  1
 Lemat Urysohna  leszczu450  8
 Lemat Kuratowskiego-Zorna - zadanie 4  piternet  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl