szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 9 lip 2019, o 15:26 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: KRK
Witam raz jeszcze, mam nadzieję, że teraz już będzie zgodnie z regulaminem - tex uwzględniony;)

Chciałem prosić jakąś dobrą duszę o sprawdzenie toku i poprawności moich obliczeń.
Mam 2 koła (rozłączne; nie przecinają się) oraz elipsę, która jest przybliżona przy użyciu zbioru kół.
Chodzi o znalezienie punktu do którego należy przesunąć środek wybranego koła elipsy tak, aby była styczna do obu zadanych kół.
Mając przesunięcie 1 środka będę mógł przesunąć wszystkie koła składowe elipsy.
Moje rozwiązanie poniżej.

Z góry dziękuję za wszelkie uwagi.
Pozdrawiam,
Paweł

(x_0+x_1)^{2}+ (y_0+y_1)^{2}=(R_0+R_1)^{2}
(x_2+x_3)^{2}+ (y_2+y_3)^{2}=(R_2+R_3)^{2}
gdzie x,y,R - współrzędne kół o środku (x,y) i promieniu R
oraz x_2=x_0+ A, y_2=y_0+B
koła x_0, y_0,R_0 oraz x_2, y_2,R_2 należą do tej samej elipsy
Elipsa jest przybliżona przy pomocy zbioru kół.
Szukane są współrzędne punktu x_0, y_0.
Pozostałe elementy układu równań są znane.
Chodzi o znalezienie nowych współrzędnych koła x_0, y_0 takich,
aby po przesunięciu elipsy była ona styczna do kół x_1, y_1, R_1 oraz x_3, y_3, R_3.

x_0^{2}-2x_0 x_1+x_1^{2}+ y_0^{2}-2y_0 y_1+ y_1^{2}=(R_0+R_1)^{2}
x_2^{2}-2x_2 x_3+x_3^{2}+ y_2^{2}-2y_2 y_3+ y_3^{2}=(R_2+R_3)^{2}
podstawiam:
C=(R_0+R_1)^{2}; D=(R_2+R_3)^{2}

x_0^{2}-2x_0 x_1+x_1^{2}+ y_0^{2}-2y_0 y_1+ y_1^{2}=C
(x_0+ A)^{2}-2(x_0+A)x_3+x_3^{2}+ (y_0+ B)^{2}-2(y_0+B)y_3+y_3^{2}=D
rozpiszę drugie równanie:
x_0^{2}+x_0(2A-2x_3) - 2Ax_3+x_3^{2}+A^{2}+y_0^{2}+y_0(2B-2y_3) - 2By_3+y_3^{2}+B^{2}= D
tu robię podstawienie:
E=2A-2x_3; F=2B-2y_3;
G=A^{2}+B^{2}-2Ax_3-2By_3+x_3^{2}+y_3^{2}
i otrzymuję; x_0^{2}+x_0E+y_0^{2}+y_0F+G=D
stąd układ wygląda:
x_0^{2}-2x_0x_1+x_1^{2}+y_0^{2}-2y_0y_1+ y_1^{2}=C
x_0^{2}+x_0E+y_0^{2}+y_0F+G=D
po odjęciu:
x_0(-2x_1-E)+y_0(-2y_1-F)+x_1^{2}+y_1^{2}-G=C-D
kolejne podstawienie:
H=-2x_1-E; I=-2y_1-F; J=C+G-D-x_1^{2}-y_1^{2}
co daje:
x_0H+y_0I=J
obliczam x_0:
x_0=\frac{J}{H}-\frac{I}{H}y_0
podstawiam:
K=JH ; L=IH
i otrzymuję:
x_0=K-Iy_0
Podstawiam do 1 równania i otrzymuję:
y_0^{2}(I^{2}+1) + y_0(-2KI+2Ix_1-2y_1)+(K^{2}-2Kx_1+x_1^{2}+y_1{2}-C)=0
robię kolejne podstawienie:
M=I^{2}+1;
N=2Ix_1-2KI-2y_1;
P=K^{2}-2Kx_1+x_1^{2}+y_1^{2}-C;
co daje:
y_0^{2}M+y_0N+P=0
i dalej już delta itd...
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 lip 2019, o 14:52 
Użytkownik

Posty: 2476
Lokalizacja: Warszawa
Cytuj:
oraz elipsę, która jest przybliżona przy użyciu zbioru kół

Cytuj:
znalezienie punktu do którego należy przesunąć środek wybranego koła elipsy

Co chciałeś przez to powiedzieć?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2019, o 12:02 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: KRK
Chodzi o coś takiego jak na załączonym rysunku.

Obrazek

Potrzebuję znaleźć środek jednego z kół elipsy już po przesunięciu (elipsa ma być styczna do 2 kół - niebieskie). Mając przesunięcie jednego z kół będę mógł przesunąć wszystkie, a tym samym całą elipsę. Współrzędne środków kół elipsy oraz ich promienie są znane, a co za tym idzie zależność między współrzędnymi x0,y0 oraz x2,y2 również jest znana.

-- 14 lip 2019, o 13:58 --

Poniżej poprawiony błąd, który znalazłem
saLv napisał(a):
podstawiam:
K= \frac{J}{H} ; L= \frac{I}{H}
i otrzymuję:
x_0=K-Ly_0
Podstawiam do 1 równania i otrzymuję:
y_0^{2}(L^{2}+1) + y_0(-2KL+2Lx_1-2y_1)+(K^{2}-2Kx_1+x_1^{2}+y_1{2}-C)=0
robię kolejne podstawienie:
M=L^{2}+1;
N=2Lx_1-2KL-2y_1;
P=K^{2}-2Kx_1+x_1^{2}+y_1^{2}-C;
co daje:
y_0^{2}M+y_0N+P=0


Pozostaje pytanie, czy to jest ok, czy może coś jest jednak nie tak z obliczeniami, bądź tokiem rozumowania.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2019, o 14:49 
Użytkownik

Posty: 2476
Lokalizacja: Warszawa
Zapewne wziąłeś to zadane z jakiegoś zboru zadań, czy egzaminu. Przedstaw jego oryginalną treść, zamiast opowiadać ją własnymi słowami.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lip 2019, o 15:59 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: KRK
Dilectus napisał(a):
Zapewne wziąłeś to zadane z jakiegoś zboru zadań, czy egzaminu. Przedstaw jego oryginalną treść, zamiast opowiadać ją własnymi słowami.

Nie jest to zadanie ze zbioru zadań, czy też egzaminu.

Może niepotrzebnie pisałem o elipsie.
Problem sprowadza się do rozwiązania układu równań na styczność 2 kół (koła styczne zewnętrznie) -> 2 równania, 2 niewiadome: x_0, y_0 - współrzędne środka jednego ze stycznych kół,
(x_0-x_1)^{2}+ (y_0-y_1)^{2}=(R_0+R_1)^{2}
(x_2-x_3)^{2}+ (y_2-y_3)^{2}=(R_2+R_3)^{2}
Wszystkie pozostałe zmienne są znane, przy czym:
x_2=x_0+ A, y_2=y_0+B
A i B są również znane.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 lip 2019, o 00:21 
Użytkownik

Posty: 2476
Lokalizacja: Warszawa
Wybacz, nie jestem w stanie zrozumieć Twojego problemu, więc nie pomogę Ci go rozwiązać...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Elipsy - zadania  Anonymous  11
 Czym jest zbiór pkt. płaszczyzny spełniających równan  Anonymous  5
 Styczne do elipsy.. dowód  Pasqdka  4
 Trapez i układ...  Finarfin  2
 Układ wspólrzednych  Majnorek  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl