szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 16 cze 2019, o 22:10 
Użytkownik

Posty: 130
Witam. Mam takie zadanko:
Jaka jest amplituda fali wypadkowej powstałej w wyniku nałożenia się dwóch fal harmonicznych o takiej samej częstotliwości i amplitudach równych odpowiednio 1 cm i 2 cm jeżeli oscylacje różnią się w fazie o \frac{ \pi }{2} .
Fale rozchodzą się w jednym kierunku.

znalałem na forum takie coś:
https://matematyka.pl/391815.htm

A _{1} \sin (2 \pi ft+ \alpha )+A _{2} \sin (2 \pi ft+ \beta )=\\ \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \left[ \frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \sin (2 \pi ft+ \alpha )+ \frac{A _{2}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \sin (2 \pi ft+ \beta )\right]=\\= \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \sin (2 \pi ft+ \phi )

Ale nie rozumiem skąd się tam ten wzór wziął. Dlaczego taki z tym pierwiastkiem? Gdy amplitudy są jednakowe to potrafie dodać, ale jak różne to nie wiem jak te współczynniki przy sinusach się robi.

Mógłby ktoś mi wyjaśnić dlaczego akurat ten pierwiastek tam jest? Dziękuję.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 cze 2019, o 23:28 
Użytkownik

Posty: 16716
Lokalizacja: Bydgoszcz
Znalazłeś wzorek, ale nie zadałeś sobie trudu przeczytania całego posta. Wróć do niego, przeczytaj i zrozumiesz.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 cze 2019, o 23:47 
Użytkownik

Posty: 130
Otóż przeczytałem, jednak nie rozumiem dlaczego zachodzi taka równość:

A _{1} \sin (2 \pi ft+ \alpha )+A _{2} \sin (2 \pi ft+ \beta )=\\=A _{1} \left( \sin 2 \pi ft \cos \alpha +\cos 2 \pi ft \sin \alpha )\right) +A _{2} \left( \sin 2 \pi ft \cos \beta +\cos 2 \pi ft \sin \beta )\right)

Z czego bierze się takie rozwinięcie tego A _{1} \sin (2 \pi ft+ \alpha ) w A _{1} \left( \sin 2 \pi ft \cos \alpha +\cos 2 \pi ft \sin \alpha )\right)


Edit:
Ogarnąłęm. W sumie z wzorów na mnożenie sinusow i cosinusow :o
Bo tam się ładnie poskraca i będzie równość. Kurde, sprytna ta matematyka, musze przyznać.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 cze 2019, o 23:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7135
Tu można łatwiej:
Ponieważ fale są przesunięte o ćwierć okresu to traktuję je jako x_1=A _{1} \sin 2 \pi ft oraz x_2=A _{2} \cos 2 \pi ft. Wtedy:
A _{1} \sin 2 \pi ft+A _{2} \cos 2 \pi ft= \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \left[ \frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \sin2 \pi ft+ \frac{A _{2}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \cos 2 \pi ft \right]=\\= \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \sin (2 \pi ft+  \alpha  )

Na amplitudę wypadkową nie ma wpływu gdzie wstawi się podane wartości amplitud.

Skoro:
\left(\frac{A _{2}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \right) ^2+\left(\frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \right)^2=1
to można przyjąć że:
\left(\frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \right)=\cos  \alpha  \wedge \left(\frac{A _{2}}{\sqrt{A _{2}^2+A _{2}^2}} \right)=\sin  \alpha
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 cze 2019, o 23:55 
Użytkownik

Posty: 130
wow,

A mógłbyś mi jeszcze powiedzieć co się stało tu?

\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \left[ \frac{A _{1}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \sin2 \pi ft+ \frac{A _{2}}{\sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2}} \cos 2 \pi ft \right]=\\= \sqrt{A _{1}^2+A _{2}^2} \sin (2 \pi ft+ \alpha )

Nie moge tego rozkminić jak to się dzieje że potem mamy sam sinus
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 cze 2019, o 23:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7135
Wykorzystuję wzór na sinus sumy:
\sin ( 2 \pi ft+\alpha )=\sin  2 \pi ft   \cdot \cos  \alpha +\sin \alpha  \cdot \cos 2 \pi ft

a powyżej napisałem co przyjmuję za sinus i kosinus kąta alfa.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Suma dwóch fal - suma wetorów na wykresie kołowym  astro41  0
 10 różnych zadań - zadanie 2  celtas6655  0
 granica według różnych dróg  Galactico  1
 Suma ciągu - zadanie 49  zuoooo  1
 Suma dwóch przedziałów - kiedy jest przedziałem?  tranto  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl