szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 14 cze 2019, o 09:24 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Białystok
Witam,
Mam mały problem z przekształceniem Laplaca. W notatkach mam coś takiego:

\frac{1}{(s+a)(s^2+b^2}  \Rightarrow z tablic  \Rightarrow   \frac{1}{b \sqrt{a^2+b^2}} *[e^{-at}*sin\theta+sin(bt-\theta)]

gdzie \theta = arcsin \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} }

I problem jest taki, że gdy patrze do tych tablic to ja osobiście nic takiego tam nie znajduje, więc czy ktoś umiałby mi odpowiedzieć skąd się to wzieło :D? Bo napisane jest że z tablic
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 cze 2019, o 10:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7058
Rozkład na ułamki proste:
\frac{1}{(s+a)(s^2+b^2)}= \frac{ \frac{1}{a^2+b^2} }{s+a}  +\frac{ \frac{-s}{a^2+b^2}+\frac{a}{a^2+b^2} }{s^2+b^2}=\frac{1}{a^2+b^2}\left[  \frac{1}{s+a}- \frac{s}{s^2+b^2}+ \frac{a}{b}\frac{b}{s^2+b^2}   \right]

Transformata odwrotna:
L^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)(s^2+b^2)} \right\} =L^{-1}\left\{ \frac{1}{a^2+b^2}\left[  \frac{1}{s+a}- \frac{s}{s^2+b^2}+ \frac{a}{b}\frac{b}{s^2+b^2} \right] \right\}=
\frac{1}{a^2+b^2}\left[  e^{-at}- \cos bt+ \frac{a}{b}\sin bt  \right]

Uproszczenie (?) wyniku:
= \frac{e^{-at}}{a^2+b^2}+\frac{1}{b(a^2+b^2)}\left[ a \sin bt  -b\cos bt  \right]= 
 \frac{e^{-at}}{a^2+b^2}+\frac{1}{b \sqrt{a^2+b^2}}\left[  \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}  \sin bt  -\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos bt  \right]=
skoro
\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos \theta  \wedge \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin \theta
to stosując wzór na sinus różnicy mam:
=\frac{e^{-at}}{a^2+b^2}+\frac{1}{b \sqrt{a^2+b^2}}   \sin (bt-\theta)

Czyli coś innego niż powyżej. Widocznie ktoś coś źle przepisał.

-- 14 cze 2019, o 13:52 --

kerajs napisał(a):
mam:
=\frac{e^{-at}}{a^2+b^2}+\frac{1}{b \sqrt{a^2+b^2}}   \sin (bt-\theta)

Czyli coś innego niż powyżej. Widocznie ktoś coś źle przepisał.

Oj, żle Ci napisałem gdyż można dalej przekształcać:
\frac{e^{-at}}{a^2+b^2}+\frac{1}{b \sqrt{a^2+b^2}}   \sin (bt-\theta)=
\frac{be^{-at}}{b(a^2+b^2)}+\frac{1}{b \sqrt{a^2+b^2}}   \sin (bt-\theta)=
\frac{1}{b \sqrt{a^2+b^2}} \left[ \frac{be^{-at}}{ \sqrt{a^2+b^2}}+ \sin (bt-\theta) \right]= 
\frac{1}{b \sqrt{a^2+b^2}} \left[ (\sin \theta) e^{-at}+ \sin (bt-\theta) \right]
Czyli jednak jest DOBRZE.

Przepraszam za zamieszanie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Przekształcenie w równaniu różniczkowym z warunkiem początko  koszerny_rozum  2
 Przekształcenie równania różniczkowego - zadanie 5  Kmitah  3
 Przekształcenie równania różniczkowego II go rzędu  charlie000  1
 Równanie różniczkowe zastosowanie transformaty laplaca  aniiiiia  3
 Przekształcenie odwrotne LaPlace'a - zadanie 2  jakniktinny  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl