szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 13 cze 2019, o 11:30 
Użytkownik

Posty: 4787
Proszę rozwiązać równanie różniczkowe

(e^{2x} -y^2) dx +ydy = 0 \ \ (1)

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

P'_{|y}(x,y) = -2y \neq Q'_{|x}(x,y) = 0 - równanie nie spełnia warunku zupełności.

Musimy znaleźć czynnik całkujący \mu - funkcję, która po wymnożeniu stronami równania spowoduje, że stanie się ono równaniem zupełnym.

A(x) = \frac{P'_{|y}(x,y) - Q'{|x}(x,y)}{Q(x, y)}

A(x) = \frac{-2y - 0}{y} = -\frac{2y}{y} = -2.

Funkcja A jest funkcją stałą - niezależną od zmiennej y, zatem czynnik całkujący dla tego równania zależy tylko od zmiennej x.

\mu(x) = e^{\int A(x)dx }

\mu(x) = e^{\int -2 dx} = e^{-2x} \ \ (2)

Po pomnożeniu stronami równania (1) przez funkcję (2) - otrzymujemy równanie

(e^{-2x +2x} -y^2 e^{-2x})dx + ye^{-2x}dy = 0

(e^{0} -y^2e^{-2x})dx + ye^{-2x}dy = 0

(1 - y^2e^{-2x} )dx +ye^{-2x}dy = 0 \ \ (3)

Równanie (3) jest już równaniem zupełnym , bo spełnia warunek różniczki zupełnej:

P'_{|y}(x,y) = -2y e^{-2x}=  Q'_{|x}(x,y) = -2ye^{-2x}.

Znajdujemy rozwiązanie ogólne równania (3)

P(x,y) = 1 - y^2 e^{-2x} \ \ Q(x,y) = ye^{-2x}

F'(x,y)_{|x} = 1 -y^2 e^{-2x}, \ \ F'(x,y)_{|y} = ye^{-2x} \ \ (4)

Całkujemy pierwsze równanie względem x

F(x,y) = x + \frac{1}{2}y^2e^{-2x} + \phi(y) \ \ (5)

\phi(y) jest dowolną funkcją różniczkowalną pełniącą rolę stałej całkowania.

Różniczkujemy równanie (4) względem y

F'(x,y)_{|y} = 2y e^{-2x} + \phi'(y) \ \ (6)

Porównujemy równania (4), (6)

2ye^{-2x} +\phi'(y) = ye^{-2x}

\phi'(y) = y e^{-2x}

\phi(y) = \int  y e^{-2x}dy = \frac{1}{2}y^2 e^{-2x} + C \ \ (7)

Podstawiamy równanie (7) do równania (5)

Rozwiązaniem ogólnym równania jest funkcja

F(x,y) = x +  y^2e^{-2x} + C.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 cze 2019, o 13:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3696
Lokalizacja: blisko
Brawa wielkie, ale co ja mam z tego albo inni użytkownicy...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 cze 2019, o 15:52 
Użytkownik

Posty: 4787
Arek1357 bez braw wielkich. O rozwiązanie tego zadania prosił mnie jeden ze studentów - były uczestnik forum, któremu uczestnictwo na tym forum zostało zawieszone.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 cze 2019, o 08:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
janusz47, czy aby na pewno musimy sprowadzać do zupełnego ?
Na pierwszy rzut oka widać że jest to równanie Bernoulliego


(e^{2x} -y^2) dx +ydy = 0 \\
e^{2x} -y^2+ y\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=0\\
 \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }-y+e^{2x} \cdot  \frac{1}{y} \\

Równanie Bernoullego o r=-1

e^{2x} -y^2+ y\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=0\\
2e^{2x} -2y^2+ 2y\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=0\\
u=y^2\\
 \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }=2y \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }  \\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }-2u+2e^{2x}=0\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }-2u=-2e^{2x}\\

Otrzymaliśmy równanie liniowe niejednorodne pierwszego rzędu

Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne rozdzielając zmienne
a następnie znajdujemy rozwiązanie szczególne równania liniowego jednorodnego
uzmienniając stałą

\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }-2u=-2e^{2x}\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }-2u=0\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x }=2u\\
\frac{ \mbox{d}u}{ u }=2\mbox{d}x \\
\ln{\left| u\right| }=2x+\ln{C}\\
u=Ce^{2x}\\
u\left( x\right) =C\left( x\right) e^{2x}\\
C'\left( x\right) e^{2x}+2C\left( x\right) e^{2x}-2C\left( x\right) e^{2x}=-2e^{2x}\\
C'\left( x\right) e^{2x}=-2e^{2x}\\
C'\left( x\right)=-2\\
C\left( x\right)=-2x+C_{1} \\

u\left( x\right)=\left( -2x+C_{1}\right)e^{2x} \\
y^2\left( x\right)=-2xe^{2x} +C_{1}e^{2x}\\
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 cze 2019, o 12:37 
Użytkownik

Posty: 4787
Równanie pojawiło się w równaniach zupełnych.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Równanie Hamiltona-Jacobiego  Pikaczu  0
 rownanie linii lancuchowej  bisz  1
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 równanie różniczkowe Clairauta - zadanie 2  qaz  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl