szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 11 cze 2019, o 22:20 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Polska
Niech
(i) f jest funkcją niemalejącą
(ii) \lim_{t \to  \infty } f(t) = 1; \lim_{t \to -\infty } f(t) = 0.
(iii) f jest prawostronnie ciągła

Teza:
Funkcja f spełnia (i),(ii),(iii) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f jest dystrybuantą.

Moje próby dowodów spełzły na niczym. Gdyby udało mi się udowodnić, że jeżeli f jest dystrybuantą, to zachodzi (i), to może udałoby mi się wykazać także (ii), ale to też niewiele. :(
Mógłby ktoś pomóc, dać podpowiedź?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 11 cze 2019, o 22:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2129
Lokalizacja: hrubielowo
Dystrybuanta jest niemalejąca bo można ustalić x_1 \le x_2 wtedy zachodzi \left(- \infty ,x_1 \right] \subseteq \left(- \infty ,x_2 \right] to implikuje, że \mathbb{P}\left(\left(- \infty ,x_1 \right] \right)  \le \mathbb{P}\left(  \left(- \infty ,x_2 \right]\right). A to z definicji dystrybuanty f oznacza, że f(x_1) \le f(x_2).

PS Gdybyś miał udowodnione (ii) to dowód można by było przeprowadzić zauważając, że pochodna dystrybuanty jest gęstością z definicji nieujemną (zatem pochodna nieujemna czyli funkcja niemalejąca).

-- 11 cze 2019, o 22:55 --

Albo tak: Ustalamy x_1 \le x_2 i mamy pokazać, że f(x_1) \le f(x_2) ale zapisujemy to w kontekście gęstości prawdopodobieństwa co daje:

\int_{- \infty }^{x_1} g(x) \mbox{d}x \le  \int_{- \infty }^{x_2} g(x) \mbox{d}x

ale to można zapisać jako:

0 \le  \int_{x_1}^{x_2}g(x) \mbox{d}x

gdzie g(x) to gęstość nieujemna z definicji.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 cze 2019, o 00:08 
Użytkownik

Posty: 1714
Lokalizacja: Sosnowiec
Janusz Tracz, nie możesz korzystać z gęstości, bo nie wiadomo, czy ten rozkład ma gęstość.

Dowód (ii) (w jedną stronę)

\lim_{t\to+\infty}f(t)=\lim_{n\to\infty}f(n)=\lim_{n\to\infty}\PP((-\infty,n])=\PP\left( \bigcup_{n\in\NN}(-\infty,n]\right) =\PP(\RR)=1

\lim_{t\to-\infty}f(t)=\lim_{n\to\infty}f(-n)=\lim_{n\to\infty}\PP((-\infty,-n])=\PP\left( \bigcap_{n\in\NN}(-\infty,n]\right) =\PP(\emptyset)=0
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 cze 2019, o 07:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2129
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
nie możesz korzystać z gęstości, bo nie wiadomo, czy ten rozkład ma gęstość.
Myślałem, że takie dziwactwa nie istnieją, a jednak istnieją Probability distribution function that does not have a density function. Dzięki za sprostowanie. Zatem przypadek w którym zastosowałem gęstość wymaga dodatkowych założeń np istnienia gęstości (tak będzie najprościej).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczyc prawdopodobieństwo P(X) dla dystrybuanty  lukasz1143  6
 Wykazać, że funkcja jest rozkładem prawdopodobieństwa  somas3k  1
 Własności prawdopodobieństwa. - zadanie 12  Bombelek2  2
 Własności prawdopodobieństwa - zadanie 23  Sisa  3
 Własności prawdopodobieństwa - zadania  eerroorr  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl