szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 9 cze 2019, o 17:07 
Użytkownik

Posty: 50
Lokalizacja: tu
Funkcja
f(t)= e^{-2t}  \ast \cos t
Nie za bardzo wiem, jak wyznaczyć tą transformatę w tym zadaniu. Mógłby ktoś pomóc?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 cze 2019, o 17:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 14091
Lokalizacja: Wrocław
Czy chodzi o mnożenie, czy jednak o splot?
Jeśli o splot, to twierdzenie Borela o splocie się kłania, jeśli mnożenie to normalnie liczysz całkę
\int_{0}^{+\infty}e^{-2t}\cos te^{-st}\,\dd t\\= \int_{0}^{+\infty}\cos t e^{-(s+2)t}\,\dd t\\= \frac{s+2}{s^2+4s+5}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 cze 2019, o 17:43 
Użytkownik

Posty: 50
Lokalizacja: tu
Chodzi o splot, dzięki, zgadza się z odpowiedzią.

A w takim czymś mógłbyś pomóc?
Mam wyznaczyć oryginał f(t)= L^{-1}[F(s)]
jeżeli F(s)= \frac{9}{ (s ^{2} +9)^{2} }
będę bardzo wdzięczny
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 cze 2019, o 18:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 14091
Lokalizacja: Wrocław
Zobaczmy, co da się zrobić:
\frac{9}{(s^2+9)^2} = \frac{9+s^2-s^2}{(s^2+9)^2} \\= \frac{1}{s^2+9}- \frac{s^2}{(s^2+9)^2}\\=\frac 1 3\cdot \frac{3}{s^2+9}-\left( \frac{s}{s^2+9}\right)^2

Z podstawowych wzorów mamy
\frac{3}{s^2+3^2}=\mathcal{L}\left\{ \sin (3t)\right\}
oraz
\frac{s}{s^2+3^2}=\mathcal{L}\left\{ \cos(3t)\right\},
ale tam jest jeszcze ten kwadrat, no to
\left( \frac{s}{s^2+9}  \right)^2=\mathcal{L}\left\{ \cos(3t)*\cos(3t)\right\}
(gdzie * oznacza splot) z twierdzenia Borela.
Czyli z liniowości transformaty Laplace'a mamy
\frac 1 3\cdot \frac{3}{s^2+9}-\left( \frac{s}{s^2+9}\right)^2=\mathcal{L}\left\{ \frac 1 3\sin(3t)-\cos(3t)*\cos(3t)\right\}
i ostatecznie dostajemy (bo transformata Laplace'a jest 1-1)
f(t)= \frac 1 3\sin(3t)-\cos(3t)*\cos(3t)
Być może ten splot da się zapisać prościej, ale osobiście nie widzę potrzeby.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 cze 2019, o 21:55 
Użytkownik

Posty: 50
Lokalizacja: tu
Dzięki wielkie!
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 10 cze 2019, o 19:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6695
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Premislav, jakiś czas temu odwracałeś już to przekształcenie ze wzoru Leibniza

\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}s}\left(  \frac{s}{s^2+9} \right) =\frac{1 \cdot \left( s^2+9\right)-s \cdot 2s }{\left( s^2+9\right)^2 } \\
\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}s}\left(  \frac{s}{s^2+9} \right)=\frac{9-s^2}{\left( s^2+9\right)^2 }\\
\frac{s^2+9}{\left( s^2+9\right)^2}+\frac{9-s^2}{\left( s^2+9\right)^2 }=\frac{18}{\left( s^2+9\right)^2 }\\
=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\sin{3t}-t\cos{3t}\right)\\
=\frac{1}{6}\sin{3t}-\frac{1}{2}t\cos{3t}\\

Jeżeli chodzi o splot to można od razu spleść dwa sinusy

\sin{3t}*\sin{3t}\\
\int_{0}^{t}{\sin{3\tau}\sin{3\left( t-\tau\right) } \mbox{d}\tau}\\
\cos{\left( A-B\right) }=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\\
\cos{\left( A+B\right) }=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\\
\frac{1}{2}\int_{0}^{t}{\cos{\left( 6\tau-3t\right) }-\cos{\left( 3t\right) }\mbox{d}\tau}\\
\frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{6}\sin{\left( 3t\right) }-t\cos{3t}\right)-\left(\frac{1}{6}\sin{\left( 3t\right) }-0\right)\right)\\
\frac{1}{2}\left( \frac{1}{3}\sin{3t} -t\cos{3t} \right) \\
\frac{1}{6}\sin{3t}-\frac{1}{2}t\cos{3t}\\
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie transformacji Laplace'a.  Anonymous  5
 Transformacja Laplace'a.  Anonymous  0
 równanie różniczkowe Laplace  Mav  1
 Znaleźć CS równiania różniczkowego przy podanych warunkach  Novy  3
 Znaleźć rozwiązanie szczególne  amizu  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl