szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 8 cze 2019, o 21:00 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Polska
Witam, mam pytanie na temat hiperboloidy jednopowłokowej. Czy każda hiperboloida jednopowłokowa jest prostokreślna? Mam tu na myśli powierzchnię nie obrotową :)
Czyli dla takiego równania:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1, gdzie a \neq b

Zakładam, że tak i próbuję to udowodnić. Korzystam z definicji prostokreślności:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Powierzchnia_prostokreślna

Rozumiem że \beta to kierownica a \gamma to kierunek prostej czyli to można zapisać w postaci:

\begin{cases}
x(u,v)=\beta_1(u)+v \cdot \gamma_1(u)\\ 
y(u,v)=\beta_2(u)+v \cdot \gamma_2(u) \\
z(u,v)= \beta_3(u)+v \cdot \gamma_3(u)
\end{cases}

Zacząłem od przekroju płaszczyzną OXY dla z = 0 i otrzymałem elipsę. Wziąłem jej parametryzację i jest to moje szukane \beta (z=0). Dalej zapisałem równanie prostej zawartej w tej powierzchni:
\begin{cases} x(u,v) = a \cdot \cos (u) + \gamma_1 (u) \cdot t\\ 
y(u,v)= b \cdot \sin (u) + \gamma_2 (u) \cdot t \\
z(u,v)= \gamma_3(u) \cdot t
\end{cases}
Podstawiłem to tego wzoru hiper. jedn. i otrzymałem równość i ma to być spełnione dla wszystkich a,b i c. Czyli nieskończenie wiele rozwiązań, zatem 0 = 0. Stąd powstaje mi nowy układ równań z 3 niewiadomymi. Niewiadomymi są \gamma _1 , \gamma _2 , \gamma _3.

Wpadłem na pomysł skalowania wektora \gamma ( nie wiem właśnie czy można?) i podstawiłem \gamma _3 =1. Czy jest to poprawne ? Bo otrzymałem rozwiązanie, podstawiłem do maximy i nie wychodzi z tego hiperboloida :/ Wydaje mi się że albo źle rozumiem definicję prostokreślności albo nie można skalować wektora \gamma
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 cze 2019, o 22:30 
Użytkownik

Posty: 6191
Lokalizacja: Staszów
Może na początek zrobić model jak tu:
https://www.google.pl/search?q=hiperbol ... TXgsQVQfGM:
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 8 cze 2019, o 23:37 
Użytkownik

Posty: 4729
Rys.

Równania parametryczne hiperboloidy

x(u, \phi)=..., \ \ y(u,\phi)=..., \ \ z(u,\phi)=..., \ \ u\in R, \ \ \phi \in [0, 2\pi].

Z równania ogólnego hiperboloidy jednopowłokowej i rysunku wynika, że proste, których szukamy- muszą wychodzić z elipsy

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}= 1 leżącej w płaszczyźnie z =0.

Jest to elipsa największego przewężenia hiperboloidy. Jeśli tak, to znaczy znaleźliśmy krzywą, która jest kierownicą badanej powierzchni.

Wykorzystując równanie:

r(u,v) = \vec{\alpha}(u) +v\vec{\beta}(u)

Krzywa \vec{\alpha}u nosi nazwę kierownicy, a prosta, która "patrzy" w kierunku \vec{\beta}u - prostej tworzącej danej powierzchni.

możemy napisać

\vec{\alpha}(\theta) = \left[\begin{matrix} a\cos(\theta)\\ b\sin(\theta)\\ 0 \end{matrix}\right]

Musimy znaleźć jeszcze współrzędne wektora \vec{\beta}.

Wprowadzając oznaczenia \vec{\beta} = [ d \ \ e \ \  f ] ^{T}, stwierdzamy, że będzie spełnione równanie:

\vec{r}(\theta, t)} = \left[ \begin{matrix}x(t, \theta)\\ y(t, \theta)\\z(t, \theta) \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} a\cos(\theta)\\ b\sin(\theta)\\ 0 \end{matrix}\right] + t \left[\begin{matrix} d\\e\\ f \end{matrix} \right] \ \ (1)

Proszę tak dobrać liczby d, e, f aby równanie (1) stanowiło parametryzację hiperboloidy.

Należy zauważyć, że szukana prosta ( a zatem także wektor \vec{\beta})

w punkcie, w którym przecina ona kierownicę czyli w (a\cos(\theta), b\sin(\theta), 0)

musi być prostopadła do wektora współrzędnych:

[a\cos(\theta), \ \ b\sin(\theta), \ \ 0].

Wynika to z symetrii bryły przy odbiciu z \rightarrow -z.

Musi więc zachodzić równanie

\vec{\beta}\cdot  [a\cos(\theta), \ \ b\sin(\theta), \ \ 0] = 0

Wybieramy d= ..., \ \ e = ....

Wartość liczby f znajdujemy z warunku, że współrzędne x, y, z spełniają równanie ....

Ten wymóg pozwoli nam ustalić wartość parametru c, z którego po prostych przekształceniach wynika, że f^2 = ... czyli f = ...

Znaleźliśmy dwie różne parametryzacje prostokreślne

\vec{r}(\theta, t) =...

Hiperboloida jednopowłokowa okazała się powierzchnią podwójnie prostokreślną .
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 cze 2019, o 00:46 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Polska
Oj dziękuję za taką wielką pomoc. Nie spodziewałem się aż takiej wielkiej podpowiedzi. :)
Mam pytanie bo robiłem identycznie aż do momentu przedstawienia równania (1). W tym momencie zapisałem układ równań i wstawiłem go do równania hiperboloidy. Następnie chciałem uprościć wyrażenie wyciągająć parametr t przed nawias.
Otrzymałem w ten sposób:
t^2(...)+t(...)=0
I równanie to jeżeli jest spełnione dla każdego a,b i c to jest spełnione dla każdej hiperboloidy.
Więc powstaje mi nowy układ równań gdzie oba nawiasy są równe zeru. Da się z tego coś dalej zrobić? bo mam 3 niewiadome i dwa równania. Niewiadome to odpowiedniki u Pana d, e i f.
Dziękuję raz jeszcze :)

-- 9 cze 2019, o 02:15 --

Nie wiem czy coś źle robię czy jak. Pewnie nie widzę jakiegoś prostego przejścia.
Podstawiłem do równania hiperboloidy :
\left[\begin{matrix} a\cos(\theta)\\ b\sin(\theta)\\ 0 \end{matrix}\right] + t \left[\begin{matrix} d\\e\\ f \end{matrix} \right]
i otrzymałem równanie:
t^2(\frac{d^2}{a^2}+\frac{e^2}{b^2}-\frac{f^2}{c^2})=0

-- 9 cze 2019, o 02:34 --

Jednak to co napisałem nie ma sensu, miałem błąd w przekształceniu.
Zatrzymałem się na wyznaczeniu d i e. Dochodzę do takiego "czegoś":
\begin{cases}t^2(\frac{d^2}{a^2}+\frac{e^2}{b^2}-\frac{f^2}{c^2})+2t(\frac{d\cdot\cos(u)}{a}+\frac{e\cdot\sin(u)}{b})=0\\ 
ad\cos(u)=-be\sin(u)
\end{cases}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 cze 2019, o 09:02 
Użytkownik

Posty: 4729
\vec{\beta}\cdot [a\cos(\theta), \ \  b\sin(\theta) \ \ 0] = 0

[ d \ \ e \ \ f]\cdot [a\cos(\theta) \ \ b\sin(\theta) \ \ 0] = 0

d\cdot a\cos(\theta) + b\cdot e\sin(\theta) = 0.

Stąd

d = -b\sin(\theta), \ \ e = a\cos(\theta) \ \ (2)

Inny wybór parametrów a, b prowadzi jedynie do przeskalowania t.

Współrzędne x, y, z spełniają równanie hiperboli

Po podstawieniu (2), otrzymujemy równanie:

[a\cos(\theta) - t\cdot b\sin(\theta)]^2 +[b\sin(\theta)+ t\cdot a\cos(\theta)]^2 - t^2\cdot f^2 = 1.

Proszę wyznaczyć z tego równania wartość parametru f.

-- 9 cze 2019, o 10:41 --

Jaki możemy wyciągnąć wniosek z rozwiązania tego równania na wartość parametru f?

-- 9 cze 2019, o 10:47 --

Dla jakich wartości parametrów a, b, c hiperbola jednopowłokowa jest powierzchnią podwójnie dwukreślną?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 cze 2019, o 10:51 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Polska
W tym ostatnim równaniu nie brakuje dzielenia przez kolejno a^2, b^2 i c^2?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 cze 2019, o 11:08 
Użytkownik

Posty: 4729
Brakuje.

\frac{[a\cos(\theta) - t\cdot b\sin(\theta)]^2}{a^2} +\frac{[b\sin(\theta)+ t\cdot a\cos(\theta)]^2}{b^2} - \frac{t^2\cdot f^2}{c^2} =1.

Da jakich wartości a, b , c istnieje jednoznacznie wyznaczona (niezależna od t ) wartość f i ile ona wynosi?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 cze 2019, o 11:36 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Polska
Czy aby na pewno hiperboloida jednopowłokowa (dla a \neq b) jest prostokreślna? Bo nie znalazłem na internecie jej parametryzacji, tylko i wyłącznie znalazłem dla obrotowej.

-- 9 cze 2019, o 11:40 --

Zatrzymuje się na równaniu takim, gdzie dla a=b równanie rozwiązuje się samo. Dla różnych jest już ciężej.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 cze 2019, o 11:50 
Użytkownik

Posty: 4729
Tylko hiperboloida kołowa a = b jest prostokreślna.

Wtedy z ostatniego równania wynika, że wartość f = \pm c.

Mamy dwie różne parametryzacje prostokreślne

\vec{r}(\theta, t)} = \left[ \begin{matrix}x(t, \theta)\\ y(t, \theta)\\z(t, \theta) \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} a\cos(\theta)\\ b\sin(\theta)\\ 0 \end{matrix}\right] + t \left[\begin{matrix} -b\sin(\theta)\\a\cos(\theta)\\ \pm c \end{matrix} \right].
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 cze 2019, o 11:55 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Polska
Tak, to obliczyłem i wydaje się to być proste i logiczne. Dla obrotowej mamy dwie parametryzacje zatem powierzchnia ta jest prostokreślna.

Znalazłem coś takiego(podpunkt b)):
https://www.mathcurve.com/surfaces.gb/h ... oid1.shtml

Czy to jest dla a=b?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 cze 2019, o 12:47 
Użytkownik

Posty: 4729
Parametryzacje w różnych układach odniesienia, krzywizny, kierunki (proste) asymptotyczne hiperboloidy jednopowłokowej dla a\neq b \neq c.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Prostokreślność paraboloidy hiperbolicznej  gecov  1
 Objętość i pole fragmentu hiperboloidy jednopowłokowej  Pospolitus  0
 Jak policzyć moment bezwładności oraz objętość hiperboloidy?  Adek Robak  0
 Tworzące hiperboloidy  patero  0
 Tworząca hiperboloidy  meason0  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl