szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 5 cze 2019, o 17:13 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Iłowa
Cześć,
mam problem z wyznaczeniem rozkładu (gęstości łącznej) zmiennej losowej Z=XY, przy znanych rozkładach X i Y. W poleceniu są podane ich gęstości (oba z rozkładu Cauchy'ego i niezależne), ale chciałbym poznać sposób na wyprowadzenie tego rozkładu. :)

Myślałem, żeby to zrobić poprzez logarytmy tzn.:
P(Z<x) = P(XY<x) = P(\ln (XY)<x) = P(\ln X + \ln Y<x),
a następnie policzyć rozkłady \ln X,\; \ln Y i wtedy użyć splotu, ale wydaje się to trochę skomplikowane i też nie jestem pewien początku - nakładania logarytmu i działania na jednej zmiennej x.

-- 5 cze 2019, o 22:39 --

Jaka jest definicja splotu?
Załóżmy, że mam 2 funkcję f (x) i g(y).
Dla zmiennej losowej Z = X+Y mamy:
h(z) = \int_{R} f(x)g(z-x) \mbox{d}x,
Czy to, że w h w g mamy minus, pochodzi od przekształcenia
Z=X+Y  \Rightarrow  Y=Z-X?
Idąc tym tokiem myślenia, czy mając Z = XY splot by miał postać:
h(z) = \int_{R} f(x)g\left(\tfrac{z}{x}\right) \mbox{d}x?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 6 cze 2019, o 10:05 
Użytkownik

Posty: 4729
Niech zmienne losowe X, Y będą niezależne o gęstościach odpowiednio f_{X}(\cdot), f_{Y}(\cdot ).

Znajdziemy gęstość zmiennej losowej Z = X\cdot Y.

Korzystając z niezależności zmiennych losowych, znajdujemy gęstość łączną

f_{(X,Y)} (x,y) = f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y) dla (x,y)\in \RR^2.

Przyjmujemy \phi: \RR^2 \rightarrow \RR^1, \ \ \phi(x,y) = x\cdot y dla (x,y)\in \RR^2

F_{Z}(z) = Pr(\{ X\cdot Y < z\}) =\iint_{\{(x,y):xy<z\}}f(x,y) dx dy

Rozkładamy całkę podwójną na sumę całek

F_{Z}(z) = \iint_{\{(x,y):x<0 \wedge xy<z\}}f(x,y) dx dy +\iint_{\{(x,y):x>0 \wedge xy<z\}}f(x,y) dx dy.

Każdą z tych całek obliczamy oddzielnie, stosując to samo podstawienie

\xi :\RR^2 \rightarrow \RR^2, \ \ \xi(x,y) = ( x, x\cdot y).

Jakobian odwzorowania \xi jest równy \frac{1}{x}.

F_{Z}(z) = \iint_{\{(u,v): u<0,v<z\}}f_{(X,Y)} \left( u, \frac{u}{v}\right)\frac{1}{|u|}du dv +\iint_{\{(u,v): u>0,v<z\}}f_{(X,Y)} \left( u, \frac{u}{v}\right)\frac{1}{u}du dv =\\ = \int_{-\infty}^{z}dv \int_{-\infty}^{\infty}f_{(X,Y)}\left(u, \frac{v}{u}\right) \frac{1}{|u|}du.

Gęstość zmiennej losowej Z znajdujemy poprzez różniczkowanie dystrybuanty F_{Z}(\cdot) w punktach, w których ta pochodna istnieje

f_{Z}(z) = F'_{|z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|u|} f_{X}(u)f_{Y}\left(\frac{z}{u}\right) du \ \ (1)

Proszę podstawić do (1) gęstości zmiennych losowych X, Y o rozkładzie Cauchy i obliczyć całkę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wartosc oczekiwana zmiennej losowej opisanej funkcja  dondrapichrust  11
 określ rodzaj zmiennej oraz skali  agnieszka884  2
 dana dystrybuanta-obl. rozkład  amator  3
 Rozkład wielomianowy  adam4990  0
 rozkład funkcji zmiennej losowej  ling  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl