szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 23 maja 2019, o 23:46 
Użytkownik

Posty: 2303
Lokalizacja: Kraków
W zadaniu rozważany jest model liniowy
Y=X\beta+\varepsilon
,gdzie Y \in \RR^n jest zmienną objaśnianą, X \in \RR^{n \times p} jest macierzą planu, \beta  \in \RR^p wektorem nieznanych współczynników oraz \varepsilon \in \RR^n wektorem nieskorelowanych błędów, czyli \EE \varepsilon=0, Var \varepsilon=\sigma^2 Id.

Estymator \beta metodą najmniejszych kwadratów jest postaci:
\overline{\beta}=(X^TX)^{-1}X^TY

Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję \overline{\beta}

Jak to zrobić?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 maja 2019, o 08:16 
Użytkownik

Posty: 4735
E(\overline{\beta}) = E(X^{T}X^{-1}X^{T}Y) = E([(X^{T}X^{-1}X^{T}(X\beta +\varepsilon)]) = (X^{T}X)^{-1})(X^{T}X)E(\beta) + (X^{T}X)^{-1}X^{T}E(\varepsilon) = I\beta +0 = \beta.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 maja 2019, o 16:05 
Użytkownik

Posty: 2303
Lokalizacja: Kraków
No ok dobra, to rozumiem. A jak wariancja?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 maja 2019, o 18:56 
Użytkownik

Posty: 4735
Wykazaliśmy, że estymator \overline{\beta} jest estymatorem nieobciążonym \beta.

Podstawiając do wzoru na estymator MNK formułę modelu liniowego Y = X\beta+\varepsilon,

otrzymujemy

\overline{\beta}=(X^{T}X)^{-1}X^{T}(X\beta+\varepsilon) = (X^{T}X)^{-1}(X^{T}X)\beta +(X^{T}X )^{-1}X^{T}\varepsilon = \\ = \beta+(X^{T}X)^{-1}X^{T}\varepsilon.

Wykorzystamy tą postać estymatora do obliczenia jego wariancji.

Var(\overline{\beta}) = Var(\beta + (X^{T}X)^{-1}X^{T}\varepsilon) = (X^{T}X)^{-1}X^{T}Var(\varepsilon)X(X^{T}X)^{-1}

Var(\varepsilon) = \sigma^2I_{d}

Var(\overline{\beta}) =\sigma^2 (X^{T}X)^{-1}X^{T}I_{d}X(X^{T}X)^{-1} = \sigma^2(X^{T}X)^{-1}.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 maja 2019, o 21:53 
Użytkownik

Posty: 2303
Lokalizacja: Kraków
No dobra, a to Var(\overline{\beta}) = Var(\beta + (X^{T}X)^{-1}X^{T}\varepsilon) = (X^{T}X)^{-1}X^{T}Var(\varepsilon)X(X^{T}X)^{-1}
To jak rozumiem \beta znika bo wariancja jest niezmiennicza ze względu na przesunięcia, a \beta to jest przesunięcie, tak? A te iksy wyskakują na lewo i prawo od wariancji z własności wariancji, tak? Bo resztę chyba rozumiem.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 maja 2019, o 22:28 
Użytkownik

Posty: 4735
Tak wariancja jest niezmiennicza ze względu przesunięcia. Natomiast jak piszesz " te iksy" wynikają z własności macierzy wariancji i kowariancji.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 maja 2019, o 22:43 
Użytkownik

Posty: 2303
Lokalizacja: Kraków
A możesz napisać co to za własność? bo na wikipedii tego nie widzę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wartość oczekiwana i wariancja - zadanie 17  GarryMoveOut  5
 wartość oczekiwana i wariancja - zadanie 12  D-Mic  0
 Wartość oczekiwana i wariancja - zadanie 23  bnyh6  3
 Wartość oczekiwana i wariancja - zadanie 16  Anonymous  4
 Wartosc oczekiwana i wariancja - zadanie 14  nellevin  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl